罪犯在以下条件下可以申请监外执行：

1. 有严重疾病需要保外就医：

   • 罪犯必须患有《保外就医严重疾病范围》内所列的严重疾病，这些疾病通常包括严重心脏病、严重呼吸系统疾病、严重消化系统疾病等，且病情严重到必须保外就医进行治疗的程度。
   • 诊断必须由省级人民政府指定的医院进行，并开具证明文件，确认罪犯的病情符合保外就医的标准。
   • 需要注意的是，对于可能具有社会危险性或自伤自残的罪犯，不得保外就医。这是为了防止罪犯利用保外就医的机会逃避刑罚或对社会造成危害。

2. 怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：

   • 怀孕的妇女在判决生效后发现怀孕，或在交付执行前处于怀孕状态，以及正在哺乳自己婴儿（指不满1周岁的婴儿）的妇女，可以暂予监外执行。
   • 这一规定体现了法律对母婴健康的人道主义关怀，确保她们在特殊时期能够得到适当的照顾。

3. 生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会：

   • 罪犯因年老体弱、残疾等原因导致生活不能自理，如无法自行完成基本生活行为（如穿衣、洗漱、进食、行动等）。
   • 同样需要由省级人民政府指定的医院开具证明文件，确认罪犯的生活自理能力状况。
   • 在监外执行期间，罪犯必须不会对社会造成危害，如再犯罪、干扰证人作证、毁灭证据等。这是确保监外执行不会对社会安全造成威胁的重要前提。

监外执行的程序：

• 交付执行前：由交付执行的人民法院根据罪犯的具体情况和相关证明文件，决定是否暂予监外执行。
• 交付执行后：由监狱或看守所提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关批准。这一过程需要严格遵循法律规定的程序，确保监外执行的合法性和公正性。

不得监外执行的情形：

• 有社会危险性的罪犯，如存在再犯罪可能、报复社会或被害人倾向的罪犯。
• 自伤自残的罪犯，他们故意通过自伤自残来规避服刑，违背了监外执行制度的初衷。
• 死刑缓期二年执行期间故意犯罪的罪犯，此类罪犯因其在缓刑期间故意犯罪，表明其具有较高的社会危险性。

法律后果与注意事项：

• 监外执行期间是计入执行刑期的，即罪犯在监外执行的时间将抵扣其应服的刑期。
• 若罪犯在暂予监外执行期间死亡，执行机关应及时通知监狱或看守所。
• 监外执行的罪犯仍需接受相关部门的监督和管理，确保其遵守法律法规，不危害社会。

在实际操作中，监外执行的申请与审批必须严格遵守相关法律法规和程序规定。如果你或你身边的人有关于监外执行的具体问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。