结论前置：商家未经车主同意，私自在其车上安装定位器，这一行为通常构成违法，主要侵犯了车主的隐私权。不过，也存在一些特殊情况，此时安装行为可能不违法。
一般情况下，商家私自安装定位器属于违法行为
侵犯隐私权：
- 隐私权是自然人享有的对其个人的、与公共利益无关的个人信息、私人活动和私有领域进行支配的一种人格权。车辆作为车主的私有财产，其位置信息无疑属于车主的隐私范畴。商家未经车主同意，擅自在其车上安装定位器，监测车主的行踪，这一行为明显侵犯了车主的隐私权。
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。商家的行为显然违反了这一规定。
法律责任：
- 对于此类侵犯隐私权的行为，《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条有明确规定，偷窥、偷拍、窃听、散布他人隐私的，可处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
- 若商家的行为构成非法获取公民个人信息罪，即如果商家将获取的位置信息等个人隐私数据出售或提供给他人，情节严重的，还可能根据《中华人民共和国刑法》第二百五十三条之一面临更严厉的刑事处罚，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
民事诉讼权利：
- 受侵害的车主有权根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向法院提起民事诉讼，要求商家排除妨碍（如拆除定位器）、停止侵害（如停止收集、传播车主位置信息）并赔偿损失（如因隐私泄露导致的精神损害赔偿等）。
特殊情况下，商家安装定位器可能不构成违法
经过车主明确同意：
- 如果商家在安装定位器前，已经获得了车主的明确同意，并且安装行为未超出车主同意的范围（如仅用于车辆管理、安全保障等合理目的），且商家未滥用或泄露通过定位器获得的隐私信息，那么这一行为是合法的。
基于法定职责或合法授权：
- 在某些特定情况下，如汽车租赁公司为了管理和保障自身财产安全，在租赁合同中明确告知承租人并在租赁车辆上安装定位装置，这属于合法行为。但前提是租赁合同中有明确规定，且承租人已知情并同意。不过，这种情况更多涉及租赁公司与承租人之间的关系，商家作为第三方擅自安装仍可能构成违法。
- 运输危险化学品的企业，为保障运输安全和公共安全，按相关法规和监管要求在车辆上安装定位装置，也是合法的。但这同样不适用于商家未经车主同意擅自安装的情况。
总结与建议：
商家未经车主同意，私自在其车上安装定位器，这一行为在大多数情况下都是违法的，主要侵犯了车主的隐私权，并可能面临法律制裁和民事责任。因此，我建议商家在安装定位器前，务必获得车主的明确同意，并严格遵守相关法律法规，尊重和保护他人的隐私权。如果车主发现商家未经同意在其车上安装了定位器，有权要求商家立即拆除，并可以向相关部门投诉或向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。