在处理投保人故意不履行如实告知义务的举证问题时，我们首先要明确的是，这确实是一个涉及法律责任和举证责任分配的核心问题。以下是我为您详细梳理的保险公司如何举证的相关内容：
一、保险公司的主要举证责任
证明投保人未如实告知：
- 保险公司需要搜集并整理充分的证据，这些证据可能包括投保单上的填写内容、医疗报告、体检结果等，用以证明投保人在投保时未如实告知与保险标的或被保险人有关的重要情况。例如，如果投保人在健康告知部分隐瞒了已有的重大疾病，保险公司就需要提供相应的医疗记录或体检报告来证明这一点。
证明未如实告知内容属“重要事实”：
- 保险公司还需进一步证明投保人未如实告知的内容是“重要事实”，即这些事实足以影响保险公司做出承保决定或调整保险费率。这通常需要保险公司提供行业内相关数据统计、风险评估模型等，来阐述隐瞒事项对风险评估的具体影响。
证明已履行询问义务：
- 保险公司需要证明在订立合同时，已经对投保人进行了充分的询问，并且投保人对此是知情的。这通常通过投保单上的明确询问事项、投保人的签字确认以及可能的录音录像等证据来实现。
二、投保人在特定情况下的举证责任
虽然主要的举证责任在保险公司，但投保人在某些特定情况下也需要承担一定的举证责任：
证明保险公司弃权或禁止反言：
- 如果投保人主张保险公司已知其未如实告知但仍愿意承保（即保险公司弃权或禁止反言），那么投保人需要提供相关证据，如续保通知、缴费凭证、与保险公司的沟通记录等，来证明这一点。
解决告知范围争议：
- 当双方对告知范围有争议时，如果投保人认为保险公司询问的问题不明确或存在歧义，导致其无法准确告知，那么投保人需要提供证据说明询问问题的模糊性，如投保单上询问问题的表述不清、保险代理人的误导性陈述等。
提供反证反驳指控：
- 在必要时，投保人还需要提供反证来反驳保险公司的指控，或证明自己已尽到如实告知义务。这可能包括当时的陈述记录、与保险代理人的沟通记录、相关医疗证明等。
三、法院审理时的综合考虑
在处理此类争议时，法院会综合考虑多种因素，包括投保人的知识水平、理解能力、保险公司的询问方式及范围、双方的行为表现等。因此，双方在举证过程中都应充分考虑这些因素对举证责任分配的影响，并尽可能提供全面、准确的证据来支持自己的主张。
四、总结与建议
综上所述，投保人故意不履行如实告知义务的举证责任主要由保险公司承担，但投保人在特定情况下也需承担一定的举证责任。为了避免后续可能的纠纷和损失，我建议投保人在投保时务必如实告知相关信息，并保留好相关证据；同时，保险公司也应加强询问和审核流程，确保投保信息的真实性和准确性。在发生争议时，双方应积极配合法院的审理工作，遵循诚实信用原则，以确保案件的公正处理。