结论：在判决书生效后，若欠款人仍不还款，原告既可以选择立即提交强制执行申请，也可以考虑给予欠款人一定的宽限期，但具体选择需根据实际情况和法律规定来决定。以下是对此问题的详细分析：
一、立即提交强制执行申请
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当判决书生效后，如果债务人未履行判决确定的义务，债权人可以向人民法院申请强制执行。
操作流程：
- 原告需准备强制执行申请书、生效的判决书、身份证明等材料，向有管辖权的人民法院提交申请。
- 法院在收到申请后，会依法进行审查，并决定是否立案执行。
优势：
- 迅速启动执行程序，加快债权实现的速度。
- 通过法院的强制力，对欠款人的财产进行查封、扣押、拍卖等措施，以强制其履行还款义务。
注意事项：
- 在申请强制执行前，应确保判决书已经生效，且欠款人确实未履行还款义务。
- 提交申请时，需提供准确的欠款人财产信息，以便法院能够迅速采取执行措施。
二、给予欠款人一定的宽限期
法律依据：
- 虽然法律并未明确规定在判决书生效后必须立即申请强制执行，但给予欠款人宽限期并非法律义务，而是基于双方协商或实际情况的考虑。
操作建议：
- 如果原告认为欠款人有可能在短期内履行还款义务，或者出于其他考虑（如维护双方关系、避免执行成本等），可以选择给予欠款人一定的宽限期。
- 在宽限期内，原告应与欠款人保持沟通，了解其还款计划和进展情况。
优势：
- 给予欠款人一定的还款时间，可能促使其主动履行还款义务，避免执行程序的繁琐和成本。
- 有助于维护双方的关系，为未来的合作或交往留下余地。
风险：
- 如果欠款人在宽限期内仍未履行还款义务，原告可能需要再次启动执行程序，这可能会增加时间成本和执行难度。
- 在宽限期内，欠款人的财产状况可能发生变化，导致执行难度增加或无法执行。
三、综合建议
评估欠款人情况：
- 在决定是否立即申请强制执行或给予宽限期前，原告应评估欠款人的还款能力、信用状况以及财产状况等因素。
考虑执行成本：
- 强制执行程序可能涉及一定的费用和时间成本，原告应综合考虑这些因素来做出决策。
保持沟通：
- 无论选择哪种方式，原告都应与欠款人保持沟通，了解其还款意愿和计划，以便及时调整策略。
及时行动：
- 如果欠款人明确表示无法履行还款义务或拖延时间过长，原告应及时申请强制执行，以维护自己的合法权益。
最后，在判决书生效后若欠款人仍不还款，原告的选择应基于实际情况和法律规定来决定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。