针对您提出的问题“上诉人没有提起上诉的部分可以向原审申请再审吗”，我可以明确地告诉您：当事人未上诉的部分，在符合法定条件的情况下，仍然有权向原审法院的上一级法院（或特定情况下向原审法院）申请再审。以下是我为您详细梳理的解答：
一、法律依据与再审权利
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，有权向上一级人民法院申请再审。这一规定明确赋予了当事人在未上诉的情况下申请再审的权利。再审程序作为一种特殊的救济途径，旨在纠正生效裁判中的错误，确保司法公正。
二、再审与上诉的区别
- 上诉：是针对一审判决或裁定，在法定期限内向上一级法院提出的常规救济途径，请求重新审理。
- 再审：则是针对已生效的判决、裁定，在出现法定再审事由时启动的特殊救济程序，旨在纠正生效裁判的错误。
两者是不同的救济程序，互不替代。因此，未上诉并不影响当事人申请再审的权利。
三、再审申请的条件
当事人申请再审，必须满足以下条件之一：
- 有新的证据，足以推翻原判决、裁定的；
- 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的；
- 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；
- 原判决、裁定适用法律确有错误的；
- 审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的；
- 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的；
- 违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的；
- 未经传票传唤，缺席判决的；
- 原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的；
- 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的；
- 审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。
四、再审申请的流程
- 提交材料：当事人需要向人民法院提交书面再审申请书及相关证据材料，明确说明申请再审的理由和依据。
- 法院审查：法院会对再审申请进行形式审查和实质审查，可能要求补充材料或进行询问。
- 审查结果：如果法院认为当事人的再审申请符合再审条件，会裁定再审；否则，会裁定驳回申请。
五、注意事项
- 申请再审期间，不停止原判决、裁定的执行。
- 当事人应充分了解再审申请的条件和程序，必要时咨询专业律师以确保申请的有效性和成功率。
综上所述，即使上诉人没有提起上诉的部分，只要符合法定再审条件，当事人仍然有权申请再审。这是法律赋予当事人的重要救济权利，旨在保障其合法权益和司法的公正性。希望我的解答能够对您有所帮助。