刑事案件补充起诉通常发生在审查起诉阶段或审判阶段，当检察机关发现原起诉遗漏罪行、遗漏同案犯罪嫌疑人或需要追加、变更起诉内容时进行。具体来说，补充起诉的时机和情形包括以下几种：

1. 审查起诉阶段发现遗漏罪行或同案犯罪嫌疑人
   根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，检察机关在审查起诉过程中，若发现犯罪嫌疑人存在未被起诉的罪行，或遗漏应当追究刑事责任的同案犯罪嫌疑人，应当补充起诉。例如，原起诉仅指控盗窃，但审查中发现犯罪嫌疑人还涉嫌诈骗，此时需补充起诉诈骗罪。

2. 审判阶段发现需要追加、变更起诉内容
   在法院审理过程中，若检察机关发现原起诉书认定的事实、罪名或量刑情节有误，或需增加新的犯罪事实，可通过补充起诉修正。例如，原起诉指控犯罪数额为10万元，但庭审中证据显示实际数额为20万元，此时需补充起诉增加犯罪数额。

3. 被告人提出新的犯罪事实或证据
   若被告人在审判阶段主动交代未被指控的罪行，或检察机关通过新证据发现其他犯罪事实，也可补充起诉。例如，被告人供述曾实施另一起未被发现的抢劫，检察机关核实后需补充起诉。

补充起诉的流程与注意事项：

• 程序要求：检察机关需制作《补充起诉决定书》，明确补充的犯罪事实、罪名及法律依据，并送达法院和被告人。
  
• 法院处理：法院会中止原审理程序，将补充起诉内容与原起诉合并审理，确保被告人辩护权。
  
• 辩护策略：被告人及辩护人可针对补充起诉内容提出异议，如申请延期审理、补充证据或调整辩护方向。
  

建议：若案件涉及补充起诉，被告人应尽快委托律师分析新指控的证据链、罪名适用及量刑影响，制定针对性辩护方案。如有疑问，可直接向我咨询具体案件处理方式。