劳务派遣的员工受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，这是法定的责任。当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应首先向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。
- 如果劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，那么它需要按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用，包括医疗费、伤残津贴等。
法定义务：
- 劳务派遣单位还需履行用人单位对劳动者的所有义务，这包括但不限于保障员工的工作安全。在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇等。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，并且这种损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，那么用工单位需要承担相应的赔偿责任。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用工单位在某些情况下可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
劳动保护与条件：
- 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。如果用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，那么用工单位应承担相应的责任。
三、具体情形下的责任划分
正常履行工作职责受伤：
- 在这种情况下，责任主要由劳务派遣单位承担。劳务派遣单位应为员工申请工伤认定，并支付相应的工伤保险待遇。
用工单位存在过错：
- 如果员工受伤是由于用工单位的过错导致的，那么用工单位需要与劳务派遣单位共同承担赔偿责任。具体责任比例可能根据过错程度、损害后果等因素进行划分。
第三方侵权导致：
- 如果员工受伤是由于第三方的侵权行为导致的，那么员工可以要求第三方承担赔偿责任。同时，劳务派遣单位仍需承担工伤保险责任，为员工提供必要的医疗和康复支持。
四、劳务派遣员工的权益保障
- 劳务派遣员工享有与用工单位直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。他们有权要求用工单位支付加班费、绩效奖金以及与工作岗位相关的福利待遇。
- 在受伤时，劳务派遣员工应首先向劳务派遣单位主张工伤保险待遇。同时，他们也可以根据实际情况向用工单位主张补充赔偿责任。
五、建议与行动
- 及时申请工伤认定：如果劳务派遣员工在工作中受伤，应尽快向劳务派遣单位报告，并由劳务派遣单位向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 保留相关证据：员工应保留与工伤事故相关的所有证据，包括医疗记录、事故现场照片、证人证言等，以便在后续维权过程中使用。
- 寻求法律帮助：如果员工在工伤赔偿过程中遇到任何问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总之，劳务派遣员工受伤时的责任划分是一个复杂的问题，需要综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，两者可能需共同承担责任。