劳务派遣的员工受伤，赔偿责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，并承担由此产生的工伤保险责任。这是基于《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条的规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。
- 当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。这包括治疗工伤的医疗费用、康复费用、住院伙食补助费、到统筹地区以外就医的交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用、一次性伤残补助金以及劳动能力鉴定费等。
- 若劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用。
法定义务：
- 劳务派遣单位还需履行用人单位对劳动者的其他义务，如保障员工工作安全、提供必要的劳动保护等。
- 在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇等。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，且该损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，用工单位需承担相应的赔偿责任。这是基于《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条的规定，用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。
- 在某些情况下，用工单位可能因自身的过错行为（如强令冒险作业导致事故）被认定为直接责任方，需独立承担赔偿责任。
劳动保护与条件：
- 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。
- 若用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，用工单位应承担相应的责任。
三、工伤保险的覆盖与责任分担的约定
工伤保险覆盖：
- 所有用人单位，包括劳务派遣单位，均需根据《工伤保险条例》为员工缴纳工伤保险。
- 劳务派遣员工在工作中受伤时，有权享受工伤保险的待遇。
责任分担约定：
- 劳务派遣单位和用工单位可以在劳务派遣协议中约定工伤事故的责任分担方式。但这种约定仅在双方之间有效，不能对抗受伤员工要求劳务派遣单位承担工伤保险责任的权利。
- 劳务派遣单位在承担责任后，可依据协议约定向用工单位进行追偿。
四、实际案例与操作建议
- 实际案例：假设某电子厂派遣工人在操作设备时受伤，经查派遣公司正常缴纳工伤保险。最终医疗费用由工伤保险基金支付，派遣公司补发了停工留薪期工资。若派遣公司未参保，则全部费用需由派遣公司承担。
- 操作建议：
- 对于劳务派遣员工而言，在受伤后应首先向劳务派遣单位主张工伤保险待遇，同时可根据实际情况向用工单位主张补充赔偿责任。
- 对于劳务派遣单位和用工单位而言，应明确各自的责任和义务，在劳务派遣协议中详细约定工伤事故的责任分担方式，以避免后续纠纷。
综上所述，劳务派遣员工受伤时，责任的承担需综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，两者可能需共同承担责任。如果您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。