针对您提出的“没有支付付款，拒绝开具发票是否违法”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：
一、发票开具的法定义务
首先，我们需要明确的是，在正常的经营业务中，商家有开具发票的法定义务。这一义务主要来源于《中华人民共和国发票管理办法》第十九条的规定，即销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方必须向付款方开具发票。这是商家开具发票的直接法律依据。
二、未支付款项与发票开具的关系
然而，您提到的情况是“没有支付付款”。在常规理解下，如果消费者尚未支付款项，那么商家与消费者之间的交易尚未完成，商家此时并没有开具发票的直接义务。因为发票是交易完成的凭证，通常是在消费者支付款项后，商家才开具发票以确认交易。
但这里需要明确的是，即使消费者未支付款项，如果商家已经提供了商品或服务，并且消费者承诺支付（例如通过签订合同、预付款等方式），那么商家在提供商品或服务后，仍然有义务在消费者支付款项后开具发票。如果商家在消费者支付款项后拒绝开具发票，那么就违反了相关法律法规。
三、拒绝开具发票的法律后果
如果商家在消费者支付款项后拒绝开具发票，那么将面临以下法律后果：
行政处罚：根据《中华人民共和国发票管理办法》第三十五条的规定，商家如未按规定开具发票，税务机关可责令改正，并处以1万元以下的罚款；有违法所得的，还将被没收。
消费者权益受损：发票是消费者维权的重要证据之一。如果商家不开具发票，消费者在维权时将面临举证困难的问题。同时，没有发票也可能影响消费者享受相关的售后服务或保修权益。
税收流失与市场秩序紊乱：商家不开具发票可能导致国家税收流失，同时扰乱正常的市场经济秩序，影响公平竞争。
四、建议与总结
对于消费者：在交易完成后，应主动向商家索要发票，并妥善保管。如果商家拒绝提供发票，可以保留好相关的交易凭证（如收据、小票、合同等），以便后续维权时使用。同时，可以向当地的税务部门投诉举报，让税务部门介入处理。
对于商家：应自觉遵守法律法规，主动向消费者开具发票。在消费者支付款项后，无论交易金额大小，都应按照规定开具发票。这不仅是商家的法定义务，也是维护消费者权益和正常市场秩序的重要举措。
总结来说：没有支付付款时，商家通常没有开具发票的直接义务。但如果商家已经提供了商品或服务，并且消费者承诺支付，那么商家在消费者支付款项后有义务开具发票。如果商家拒绝开具发票，将面临行政处罚、消费者权益受损以及税收流失等法律后果。因此，建议消费者在交易完成后主动索要发票，商家也应自觉遵守法律法规，共同维护正常的市场秩序。