结论前置：

1. 工人生病期间，在法定医疗期内，工厂不能随意辞退。若违法辞退，工人有权要求继续履行合同或获得经济赔偿金。
2. 医疗期满后，若工人不能从事原工作，也不能从事由工厂另行安排的工作，工厂在履行法定程序后可以辞退，但需支付经济补偿。

详细分析：

一、医疗期内的保护

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条及《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，劳动者因病或非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依据《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。

2. 医疗期定义与时长：

   • 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息的时限。其长短根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，一般为三个月到二十四个月不等。具体为：工作年限不满10年的，医疗期为3个月；10年以上不满20年的，为6个月；20年以上的，为9个月至24个月。

3. 违法辞退的后果：

   • 若工厂在医疗期内违法辞退工人，工人有权要求继续履行劳动合同。若工人不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，工厂需按经济补偿标准的二倍向工人支付赔偿金。经济补偿标准按工人在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

二、医疗期满后的处理

1. 可辞退条件：

   • 医疗期满后，若工人不能从事原工作，也不能从事由工厂另行安排的工作，且经过培训或调整工作岗位仍不能胜任，工厂可以提前三十日以书面形式通知工人本人或额外支付一个月工资后，解除劳动合同。

2. 经济补偿：

   • 在上述情况下解除劳动合同，工厂仍需支付经济补偿。经济补偿的计算标准与《劳动合同法》的相关规定一致，即按工人在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。

3. 证据要求：

   • 工厂有义务证明工人确实无法从事原工作及新安排的工作，通常需要提供相关的劳动能力鉴定等证据支持。若无充足证据而随意辞退工人，将构成违法解除劳动合同，需承担相应法律责任。

三、特殊情况

1. 职业病或因工负伤：

   • 如果工人患的是职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力，工厂需按照《工伤保险条例》等相关规定处理，保障工人相应权益，不得随意辞退。

2. 严重违反规章制度：

   • 若工人在医疗期内存在严重违反工厂规章制度等法定情形，工厂可以依法解除劳动合同，不受医疗期保护限制。但这种情况较为特殊，且工厂需承担举证责任。

实际应用指导：

• 工厂在处理生病工人时，应严格遵守法律规定，确保辞退行为符合法定条件和程序。在任何情况下，都应尊重工人的合法权益，避免违法辞退带来的法律风险和经济赔偿。
• 工人也应了解自身权益，在医疗期内享有不被随意辞退的权利。若工厂违法辞退，工人可以依法维权，要求继续履行合同或获得经济赔偿金。

总结：工人生病期间，工厂不能随意辞退，需遵循法律规定的程序和条件。若违法辞退，工人有权要求继续履行合同或获得经济赔偿金。医疗期满后，若工人不能从事原工作及新安排的工作，工厂在履行法定程序后可以辞退，但需支付经济补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。