债务人死亡后，其债务的承担主要遵循以下原则：

1. 由债务人的遗产承担：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债务人死亡后，其遗产（包括但不限于财产、存款、房产等）应首先用于清偿其生前所欠的合法债务。这意味着，债权人有权从债务人的遗产中优先受偿。
   • 举例说明：若债务人死亡后留有遗产价值50万元，而其生前欠款为40万元，则债权人可直接从遗产中获得全额清偿。若欠款为60万元，则债权人只能按比例获得部分清偿，即50万元遗产全部用于偿债，剩余10万元债务通常不再由其他无关人员承担。

2. 由继承人承担（在继承遗产价值范围内）：

   • 继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这是继承人的一项法定义务。
   • 特殊情况：如果继承人放弃继承权，则对被继承人依法应当缴纳的税款和债务不负清偿责任。这是继承人的一项权利，也是对其权益的保护。
   • 举例说明：若债务人死亡后，其子女作为继承人继承了价值30万元的遗产，而债务人生前欠款为40万元，则子女只需在30万元的遗产范围内承担债务清偿责任，超出的10万元部分，除非子女自愿偿还，否则无需承担。

3. 存在保证人的情况：

   • 如果债务有保证人，那么保证人需按照保证合同的约定承担相应的保证责任。保证责任分为一般保证和连带责任保证两种。
   • 一般保证：保证人享有先诉抗辩权，即债权人需先对债务人的遗产进行主张，仍不能履行债务后，方可要求保证人承担保证责任。但在特定情形下（如债务人下落不明、无财产可供执行等），保证人可能需提前承担保证责任。
   • 连带责任保证：债权人可直接要求保证人承担保证责任，保证人没有先诉抗辩权。
   • 举例说明：若债务人死亡后，其债务有连带责任保证人，债权人可直接要求保证人偿还全部或部分债务，保证人不得拒绝。

4. 夫妻共同债务：

   • 如果该债务被认定为夫妻共同债务，那么债务人的配偶应当承担连带清偿责任。夫妻共同债务包括夫妻双方共同签名或夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务。
   • 举例说明：若债务人死亡后，其债务被认定为夫妻共同债务（如共同签字贷款购房），则即使债务人死亡，其配偶仍需对该债务承担连带清偿责任。

综合建议：

在处理债务人死亡后的债务问题时，应首先明确债务的性质（个人债务、夫妻共同债务、有保证的债务等）以及遗产的状况（是否有遗产、遗产的价值等）。同时，考虑是否存在共同债务人或保证人等因素。由于这一问题涉及复杂的法律关系和法律规定，建议面临此类情况的当事人直接向我咨询，以获取更详细的指导和帮助，确保自身权益得到妥善维护。