当被告人被羁押后，若一审法院未能在法定期限内审结刑事案件，我们需要根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关法律规定，结合案件所处的具体诉讼阶段来妥善处理。以下是对此问题的详细解答：

一、侦查阶段羁押期限届满的处理

1. 延长侦查羁押期限：

   • 若案情复杂，期限届满不能终结，可经上一级人民检察院批准延长一个月。
   • 对于特别重大复杂的案件，因特殊原因在较长时间内不宜交付审判的，需由最高人民检察院报请全国人民代表大会常务委员会批准延期审理。
   • 针对交通十分不便的边远地区重大复杂案件、重大犯罪集团案件等特定类型案件，在延长一个月的基础上，还可经省、自治区、直辖市人民检察院批准或决定再延长二个月。
   • 对可能判处十年有期徒刑以上刑罚的案件，若前述延长期限届满仍不能侦查终结，可再经省、自治区、直辖市人民检察院批准或决定延长二个月。

2. 变更强制措施：

   • 若案件不能在侦查羁押期限内办结，对犯罪嫌疑人应予以释放，或变更为取保候审、监视居住等强制措施。

二、审查起诉阶段羁押期限届满的处理

1. 补充侦查：

   • 人民检察院在审查案件时，若需补充侦查，可退回公安机关或自行侦查。补充侦查应在一个月内完成，且以二次为限。补充侦查完毕后，人民检察院重新计算审查起诉期限。

2. 变更强制措施：

   • 若案件不能在审查起诉期限内办结，对犯罪嫌疑人应予以释放，或变更为取保候审、监视居住。

三、审判阶段羁押期限届满的处理

1. 继续审理并变更强制措施：

   • 人民法院审理公诉案件，一般应在受理后二个月内宣判，最迟不得超过三个月。对于可能判处死刑、附带民事诉讼或有特定情形的案件，经上一级人民法院批准，可延长三个月；特殊情况还需延长的，需报请最高人民法院批准。
   • 若在此期间内不能办结，应变更强制措施为取保候审或监视居住。

2. 宣告无罪并释放：

   • 若经审理发现证据不足，不能认定被告人有罪，应作出证据不足、指控犯罪不能成立的无罪判决，并立即释放被告人。

四、超期羁押的监督与追责

• 人民检察院作为法律监督机关，应对侦查羁押期限进行监督。若发现超期羁押，应提出纠正意见，确保被羁押人的合法权益不受侵犯。
• 对造成超期羁押的直接责任人员和相关责任人员，应依法追究其法律责任，以维护司法的公正性和程序合法性。

综上所述，当被告人被羁押后一审法院未能在法定期限内审结刑事案件时，我们应根据案件所处的具体诉讼阶段，结合相关法律规定，采取延长办案期限、变更或解除强制措施等适当措施进行处理。同时，人民检察院应加强对羁押期限的监督，确保司法公正和程序合法。