国企损坏老百姓财产后支付的赔偿金，通常不需要开具发票，但需要履行其他财务和法律手续。以下是详细分析：

1. 发票的开具范围
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第三条，发票是单位和个人在购销商品、提供或接受服务以及从事其他经营活动中，开具、收取的收付款凭证。赔偿金不属于“购销商品、提供或接受服务”等经营性活动范畴，因此无需开具发票。

2. 赔偿金的性质与处理方式
   赔偿金是国企因侵权或违约行为对老百姓财产损失的补偿，属于民事赔偿范畴。实务中，国企通常通过以下方式处理：

   • 签订赔偿协议：明确赔偿金额、支付方式及双方权利义务；
     
   • 转账支付：通过银行转账留存凭证，避免现金交易；
     
   • 收据或书面确认：老百姓可出具收据或签字确认收到赔偿款，作为财务记账依据。

3. 国企的财务合规要求
   国企作为市场主体，需遵守《企业会计准则》及内部财务制度。赔偿支出应计入“营业外支出”科目，并附赔偿协议、转账记录、收据等原始凭证，以证明支出合法性。若国企要求老百姓提供发票，可能混淆了赔偿与经营性收入的性质，老百姓可明确拒绝并说明法律依据。

4. 特殊情形提示
   若赔偿金涉及第三方（如保险公司代赔），需根据保险合同约定处理。但即便如此，老百姓作为最终受偿方，仍无需自行开具发票。

建议：若国企坚持要求开具发票，可要求其出具书面说明，明确发票用途及法律依据。如有争议，可保留赔偿协议、支付凭证等证据，通过法律途径维护权益。如有其他疑问，欢迎继续向我咨询。