针对汽车被追尾后驾驶者逃逸且拖延时间的情况，您可以按照以下步骤处理，以最大限度维护自身权益：

1. 立即报警并固定证据
   无论事故大小，第一时间报警是关键。逃逸行为已涉嫌违反《道路交通安全法》第99条，可能面临200-2000元罚款、15日以下拘留及吊销驾照的处罚。报警后，警方会调取监控、排查车辆信息，并出具《事故责任认定书》，这是后续索赔的核心依据。
   同时，您需自行固定证据：用手机拍摄现场照片（车辆位置、碰撞细节、车牌号等）、记录目击者联系方式、保留医疗记录（如有受伤）及车辆维修单据，避免证据灭失。

2. 向保险公司申请“代位追偿”
   若您购买了车损险，可依据《保险法》第60条，要求保险公司先行赔付车辆维修费用，再由保险公司向逃逸者追偿。此方式可快速解决资金压力，但需注意：

   • 需在事故发生后48小时内报案；
     
   • 保险公司可能要求提供警方立案证明、维修发票等材料；
     
   • 若逃逸者无保险或无力赔偿，代位追偿仍可启动，但需配合保险公司提供线索。

3. 通过法律途径索赔
   若逃逸者拖延赔偿或拒不认责，您可向法院提起民事诉讼，主张以下赔偿：

   • 直接损失：车辆维修费、拖车费、停车费等；
     
   • 间接损失：如因事故导致的误工费、交通费（需提供证明）；
     
   • 人身损害赔偿：若您或乘客受伤，可主张医疗费、护理费、残疾赔偿金等。
     诉讼关键点：需在知道权利被侵害之日起3年内起诉，并提交《事故责任认定书》、维修发票、医疗记录等证据。若逃逸者未被找到，可申请法院公告送达，缺席判决后申请强制执行。

4. 警惕“拖延战术”的潜在风险
   逃逸者可能通过拖延时间转移财产、逃避执行。建议您：

   • 申请诉前财产保全（需提供担保），冻结对方银行账户、房产等资产；
     
   • 定期查询对方财产状况（如通过律师调查令），防止财产转移；
     
   • 若对方拒不履行判决，可申请将其列入“失信被执行人名单”，限制高消费及出行。

总结：逃逸行为已构成违法，您无需因对方拖延而妥协。通过报警、保险代位追偿、法律诉讼三步走，可有效推进索赔进程。若需进一步协助（如证据整理、诉讼策略制定），可直接向我咨询，我将结合具体案情提供针对性建议。