向检察院提出不服刑事判决的申请，通常称为“刑事申诉”或“申请抗诉”。具体来说，这取决于不服判决的具体情形和申请的主体：
刑事申诉：
- 主体：一般由当事人（如被告人、被害人等）及其法定代理人、近亲属提出。
- 情形：当当事人认为法院的刑事判决存在错误，如事实认定不清、法律适用错误、量刑不当等，可以向检察院提出申诉，请求检察院对判决进行审查。
- 流程：申诉人需要向作出判决的法院的同级检察院提出申诉，并提交申诉书及相关证据材料。检察院会对申诉进行审查，如果认为判决确实存在错误，可能会向法院提出抗诉或检察建议。
申请抗诉：
- 主体：在刑事诉讼中，通常由检察院作为公诉人提出抗诉，但被告人及其辩护人、被害人及其法定代理人或近亲属在特定情况下也可以申请检察院抗诉。
- 情形：当被告人认为法院的判决过重，或被害人认为判决过轻，且认为判决存在错误时，可以申请检察院抗诉。不过，实践中被告人直接申请抗诉的情况较少，更多是通过上诉途径寻求救济；而被害人申请抗诉则相对常见，尤其是在认为判决对被告人量刑过轻时。
- 流程：申请抗诉通常需要在判决生效前提出，且需要符合法律规定的抗诉条件。申请抗诉的一方需要向检察院提交抗诉申请书及相关证据材料，检察院会进行审查并决定是否抗诉。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，检察院是国家的法律监督机关，有权对法院的刑事判决进行监督。当检察院认为判决存在错误时，可以提出抗诉或检察建议，以纠正错误判决。
- 建议：如果您对法院的刑事判决不服，首先应当明确自己的身份和申请的具体情形。如果您是当事人或其法定代理人、近亲属，且认为判决存在错误，可以向检察院提出刑事申诉或申请抗诉。在提出申请前，建议您仔细研究相关法律规定和案例，准备好充分的证据材料，以提高申请的成功率。同时，您也可以考虑咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。
可能的法律后果：
- 如果检察院认为您的申诉或申请抗诉有理有据，可能会向法院提出抗诉或检察建议，从而启动再审程序或促使法院对判决进行修正。
- 如果检察院认为您的申诉或申请抗诉缺乏依据或不符合法律规定，可能会不予支持或驳回申请。此时，您可能需要考虑其他救济途径，如上诉（如果判决尚未生效）或寻求其他法律帮助。