当您面临用人单位违法解除或终止劳动合同，并希望要求继续履行劳动合同时，您可以通过以下步骤来申请执行：
一、法律依据与前提
首先，您需要明确自己的权利基础。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条的规定，若用人单位违反本法解除或终止劳动合同，您作为劳动者有要求继续履行的权利，且用人单位应当继续履行。这是您申请继续履行劳动合同最直接、最明确的法律依据。同时，《中华人民共和国劳动法》也为劳动合同的继续履行提供了基础保障。
二、申请仲裁或诉讼
劳动争议仲裁：
- 在发现用人单位违法解除或终止劳动合同后，您应首先向当地的劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。
- 仲裁申请中，您需要明确提出要求继续履行劳动合同的请求，并附上相关证据，如劳动合同、解除或终止劳动合同的通知等。
- 劳动争议仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。
提起诉讼：
- 如果您对仲裁裁决不服，或者用人单位在仲裁裁决后拒绝履行，您可以向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要再次明确提出要求继续履行劳动合同的诉讼请求，并提供充分的证据支持。
- 人民法院将依法进行审理，并作出判决。
三、申请强制执行
获得支持裁决或判决：
- 如果劳动争议仲裁委员会或人民法院支持了您要求继续履行劳动合同的请求，并作出了相应的裁决或判决，那么您就获得了法律上的支持。
申请强制执行：
- 在获得支持裁决或判决后，如果用人单位仍然拒绝履行，您可以依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十七条的规定，向人民法院申请强制执行。
- 申请强制执行时，您需要提交申请执行书、生效的法律文书（如仲裁裁决书或判决书）以及相关证据材料。
- 人民法院将依法对用人单位进行强制执行，确保您的合法权益得到实现。
四、注意事项
保留证据：
- 在整个过程中，您需要妥善保留所有与劳动合同解除或终止相关的证据材料，如劳动合同、工资单、解除或终止劳动合同的通知等。
及时行动：
- 一旦发现用人单位违法解除或终止劳动合同，您应尽快采取行动，向劳动争议仲裁委员会或人民法院提出仲裁或诉讼请求，以免错过时效。
寻求专业帮助：
- 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，他们可以为您提供法律咨询和代理服务，确保您的权益得到有效维护。
综上所述，要求继续履行劳动合同并申请执行是一个涉及多个法律环节的过程。您需要明确自己的权利基础，通过劳动争议仲裁或诉讼获得法律支持，并在用人单位拒绝履行时及时申请强制执行。希望这些信息能对您有所帮助。