结论：在民事赔偿案件中，若法院判决被告在15天内付清赔偿款，而被告未按时履行，法院的强制执行程序通常会在判决履行期限届满后启动，但具体开始时间还需考虑申请执行的时机及法院的立案审查时间。

详细解释与分析：

1. 判决履行期限：

   • 法院判决中明确规定了被告应在15天内付清赔偿款，这是被告履行义务的法定期限。

2. 申请执行的时机：

   • 若被告在判决规定的15天期限内未履行赔偿义务，原告（即赔偿权利人）有权向法院申请强制执行。
   • 申请执行的时间点是在判决履行期限届满后，即第16天起，原告可以正式向法院提交强制执行申请。

3. 法院的立案审查：

   • 法院在收到原告的强制执行申请后，会进行立案审查，确认申请材料的完整性和合法性。
   • 立案审查的时间因法院工作量和案件复杂程度而异，但通常会在一个合理的时间内完成。

4. 强制执行程序的开始：

   • 一旦法院立案审查通过，强制执行程序即正式开始。
   • 法院会向被告发出执行通知书，要求其在指定期限内履行赔偿义务。
   • 若被告仍拒不履行，法院将采取进一步的强制措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以强制被告履行赔偿义务。

特殊情况与注意事项：

• 申请执行的期限：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，申请执行的期间为二年。这意味着原告应在判决履行期限届满后的两年内申请强制执行，否则可能会丧失申请执行的权利。
• 执行过程中的协商与调解：在强制执行过程中，双方当事人仍有可能通过协商或调解达成和解协议，从而避免进一步的强制执行措施。
• 执行异议与复议：若被告对执行行为有异议，可以向法院提出执行异议或申请复议，但这并不影响强制执行程序的继续进行，除非法院裁定中止执行。

建议与行动指南：

• 及时申请执行：若被告未在判决规定的期限内履行赔偿义务，原告应尽快向法院申请强制执行，以避免超过申请执行的期限。
• 准备相关材料：在申请执行时，原告应准备好判决文书、申请执行书、身份证明等相关材料，以便法院快速立案审查。
• 关注执行进展：在强制执行过程中，原告应关注执行进展情况，及时与法院沟通联系，了解执行措施的实施情况和被告的履行情况。

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