结论：父亲在缓刑期不能开具无犯罪记录证明。

详细分析：

1. 缓刑的法律性质： 缓刑是我国刑法中的一种刑罚执行方式，它针对的是已经被法院依法认定构成犯罪，并据此作出了有罪判决的犯罪分子。在缓刑期间，犯罪分子虽然不需要在监狱内实际服刑，但必须遵守一定的条件，如定期报告、限制活动范围等。缓刑的本质是对犯罪分子的一种附条件不执行原判刑罚的制度，但它依然属于刑事处罚的范畴，具有明确的法律效应。

2. 犯罪记录的存在： 一旦一个人被判定有罪并被处以刑罚（包括缓刑），其犯罪记录就会在公安机关留下相应的记录。这些记录是客观、真实且不可更改的，它们构成了个人刑事历史的一部分。无论是否实际执行监禁刑罚，这些犯罪记录都会长期保存。

3. 无犯罪记录证明的开具条件： 无犯罪记录证明是证明一个人在一定时期内没有犯罪记录的官方文件。由于缓刑期间犯罪分子已经被法院认定有罪，并留下了犯罪记录，因此，在缓刑期间或缓刑结束后，都无法开具无犯罪记录证明。

4. 后续行动建议：

   • 如果父亲需要相关证明文件用于特定用途（如就业、出国等），建议咨询当地公安机关或相关部门的具体要求，并如实说明自己的情况。
   • 在某些情况下，可能会需要提供其他类型的证明文件或进行特定的审查程序，以满足特定需求或规定。例如，可以提供缓刑考验期满的证明文件，以证明父亲在缓刑期间没有违反相关规定，但这并不等同于无犯罪记录证明。

法律背景：

根据我国的法律规定和司法实践，只要一个人被判定有罪并被处以刑罚（包括缓刑），其犯罪记录就会长期保存，不会因为时间的推移或者刑罚的执行完毕（如缓刑结束）而自动消除。这是维护社会公正和法治秩序的必要措施，也是确保个人刑事历史真实性和客观性的重要手段。

总结与建议：

父亲在缓刑期不能开具无犯罪记录证明，这是由我国法律制度和司法实践所决定的。如果父亲需要相关证明文件用于特定用途，建议咨询当地公安机关或相关部门的具体要求，并如实说明自己的情况。同时，也可以考虑提供其他类型的证明文件或进行特定的审查程序，以满足特定需求或规定。如果有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。