检察机关对批准逮捕案件，若认为没有犯罪事实而不批准逮捕，其法律依据主要集中于《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关条款，尤其是第八十一条和第九十条。以下是对这些法律条款的详细解释，以及它们如何适用于您所描述的情形：
《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十一条：
- 核心内容：该条款规定了逮捕的条件，即“对有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚的犯罪嫌疑人、被告人，采取取保候审尚不足以防止发生下列社会危险性的，应当予以逮捕”。这些社会危险性包括可能实施新的犯罪、危害国家安全或公共安全、毁灭或伪造证据、干扰证人作证、对被害人等实施打击报复，以及企图自杀或逃跑等。
- 反向理解：若检察机关认为案件中没有犯罪事实，或者即使存在犯罪事实，但犯罪嫌疑人不具备上述社会危险性，那么就不符合逮捕的条件，因此应当不批准逮捕。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十条：
- 核心内容：该条款直接规定了检察机关对公安机关提请批准逮捕案件的审查和处理程序。它指出，“人民检察院对于公安机关提请批准逮捕的案件进行审查后，应当根据情况分别作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。对于不批准逮捕的，人民检察院应当说明理由，需要补充侦查的，应当同时通知公安机关”。
- 直接应用：在您所描述的情形中，若检察机关认为案件中没有犯罪事实，那么它就会根据这一条款作出不批准逮捕的决定，并说明理由。如果认为需要进一步补充侦查，也会同时通知公安机关。
从实际操作的角度来看：
- 检察机关的审查过程：检察机关在收到公安机关提请批准逮捕的案件后，会进行仔细的审查。这包括审查案件的证据材料、犯罪嫌疑人的供述和辩解、以及可能涉及的其他相关因素。如果检察机关认为案件中没有犯罪事实，或者证据不足以支持逮捕的决定，那么它就会作出不批准逮捕的决定。
- 不批准逮捕的后果：一旦检察机关作出不批准逮捕的决定，公安机关就必须立即释放犯罪嫌疑人（如果犯罪嫌疑人已经被拘留的话）。如果公安机关认为需要继续侦查，且犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住的条件，那么可以依法对犯罪嫌疑人采取这些强制措施。
建议与提醒：
- 对于犯罪嫌疑人及其家属：如果收到了检察机关不批准逮捕的决定，这通常意味着案件在证据或法律适用上可能存在一些问题。但这并不意味着案件就此结束，公安机关仍可能继续侦查，并可能再次提请批准逮捕或采取其他强制措施。因此，建议犯罪嫌疑人及其家属保持警惕，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 对于公安机关：如果检察机关作出了不批准逮捕的决定，公安机关应尊重这一决定，并立即释放犯罪嫌疑人（如果适用）。同时，公安机关也应认真审查检察机关提出的补充侦查意见，并积极开展进一步的侦查工作。
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