公共区域出现老鼠，物业确实有义务去处理。这一义务既来源于物业服务合同的具体约定，也基于维护小区公共环境的法定职责。下面我从几个方面详细解释：

1. 物业服务合同的约定：

   • 通常情况下，物业服务合同中会明确规定物业对小区公共区域的卫生维护、害虫防治等具体服务条款。如果合同中有这样的约定，那么物业就有责任按照合同内容，采取投放鼠药、设置捕鼠器具等措施来治理老鼠问题。

2. 维护小区公共环境的法定职责：

   • 物业服务企业负责小区的环境管理，这自然包括对小区内环境卫生的维护和提升。老鼠作为影响环境卫生和居民生活的害虫，其存在不仅破坏了小区的整洁度，还可能传播疾病，威胁居民健康。
   • 根据《物业管理条例》的相关规定，物业管理活动包括维护物业管理区域内的环境卫生和相关秩序。因此，从维护小区公共环境整洁、安全的角度出发，物业有义务对老鼠问题进行处理。

3. 物业公司的实际操作与责任：

   • 物业公司应当定期开展小区环境的检查和整治工作，及时发现并处理老鼠等害虫问题，确保小区环境的持续改善。
   • 物业公司还应加强与业主的沟通与合作，共同关注小区卫生环境，鼓励业主及时反馈老鼠等问题，以便物业能够迅速响应并采取有效措施。
   • 在灭鼠工作中，物业公司可以采取多种措施，如封堵建筑物孔洞、定期清理垃圾、修剪绿化带以减少老鼠栖息地、安装防鼠设施以及寻求专业灭鼠公司的帮助等。
   • 如果物业公司未能履行其义务，导致业主人身或财产安全受到损害，那么物业公司应当依法承担相应的法律责任。

4. 特殊情况说明：

   • 如果老鼠是出现在业主的私人房屋内部，且并非由于公共区域的问题蔓延导致的，物业一般不承担直接进入业主房屋处理老鼠的义务。
   • 但在这种情况下，物业仍应为业主提供相关的建议和指导，比如告知防治方法、提供有资质的灭鼠服务公司联系方式等，以协助业主解决问题。

综上所述，公共区域出现老鼠时，物业有明确的义务去处理这一问题。如果物业未能履行其义务，业主可以向物业提出投诉或要求其履行义务。如果问题得不到解决，业主还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。有问题可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。