在故意杀人罪案件中，被害人或其近亲属可以提起的民事赔偿主要包括以下几类：
物质损失赔偿：
- 丧葬费：这是指因处理被害人丧葬事宜而产生的费用，包括遗体接运、火化、骨灰盒、墓地等费用。具体数额根据当地丧葬费用标准和实际支出情况确定。
- 被扶养人生活费：如果被害人有需要扶养的未成年人或无劳动能力的成年人，其近亲属可以要求赔偿被扶养人生活费。计算时，需考虑被扶养人的年龄、劳动能力、生活来源等因素，以及当地的生活水平。
- 死亡赔偿金：这是对被害人因死亡而导致的未来收入损失的赔偿。死亡赔偿金的数额通常根据被害人的年龄、收入状况、当地生活水平等因素综合确定。
- 其他物质损失：如被害人因受伤治疗而产生的医疗费、护理费、交通费等，如果因犯罪行为导致被害人死亡，且这些费用在被害人死亡前已经产生，那么这些费用也可以作为物质损失进行赔偿。
精神损害赔偿：
- 在故意杀人罪案件中，被害人或其近亲属往往遭受巨大的精神痛苦。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，他们有权要求犯罪嫌疑人或被告人赔偿精神损害抚慰金。精神损害赔偿的数额通常根据侵权人的过错程度、侵权行为的具体情节、侵权行为所造成的后果以及受诉法院所在地平均生活水平等因素确定。
在提起民事赔偿时，需要注意以下几点：
- 提起时间：被害人或其近亲属可以在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，也可以在刑事诉讼结束后单独提起民事诉讼。但需要注意的是，如果单独提起民事诉讼，可能会面临执行难的问题，因为犯罪嫌疑人或被告人可能已经因刑事犯罪被判处刑罚，没有足够的财产来支付赔偿。
- 证据收集：在提起民事赔偿前，被害人或其近亲属需要收集相关证据，如医疗费发票、丧葬费发票、被扶养人情况证明等，以证明自己的损失和赔偿请求。
- 赔偿请求的合理性：在提起民事赔偿时，被害人或其近亲属需要确保自己的赔偿请求是合理的，不能提出过高的赔偿要求。否则，法院可能会根据实际情况对赔偿数额进行调整。
作为专业律师，我建议：
- 如果您或您的家人遭遇了故意杀人罪案件，并希望提起民事赔偿，请尽快咨询专业律师，以便了解具体的赔偿项目和计算方法，以及提起民事赔偿的程序和注意事项。
- 在提起民事赔偿前，务必收集好相关证据，并确保赔偿请求的合理性。这样不仅可以提高赔偿的成功率，还可以避免不必要的法律纠纷。
希望以上解答能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。