羁押必要性审查申请书应当提交至作出批准或者决定逮捕的机关，以及同级人民检察院的刑事执行检察部门。具体说明如下：

1. 提交至作出批准或者决定逮捕的机关：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请变更强制措施，包括申请对羁押必要性进行审查。
   • 申请书首先应当提交给作出批准或者决定逮捕的机关，即最初决定对犯罪嫌疑人、被告人采取羁押措施的机关，通常是公安机关（在侦查阶段）或人民检察院（在审查起诉阶段）。

2. 同时抄送同级人民检察院的刑事执行检察部门：

   • 人民检察院的刑事执行检察部门负责对羁押场所的执法活动进行监督，包括羁押必要性的审查。
   • 将申请书抄送同级人民检察院的刑事执行检察部门，可以确保申请得到更全面的审查和监督，增加申请被采纳的可能性。

在提交申请书时，还需要注意以下几点：

• 申请书的格式和内容：申请书应当写明犯罪嫌疑人、被告人的基本情况，申请事项及理由，并附上相关证据材料。
• 提交的时间：可以在犯罪嫌疑人、被告人被羁押的任何阶段提出申请，但通常建议在案件进入审查起诉阶段后提出，因为此时人民检察院对案件的了解更为全面。
• 后续跟进：提交申请书后，可以与承办案件的检察官或公安机关的办案人员保持联系，了解审查进展情况，并根据需要补充相关材料或说明情况。

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