要证明孩子和父亲的关系，可以通过以下几种方式，具体选择取决于实际情况和可获取的证据类型：

1. 出生医学证明
   出生医学证明是最直接、最常见的亲子关系证明文件。它记录了孩子的出生时间、地点、父母信息等关键内容，由医院出具并经卫生行政部门审核盖章，具有法律效力。如果出生医学证明上明确记载了父亲信息，可直接作为证明依据。

2. 亲子鉴定报告
   若出生医学证明缺失或信息有争议（如未婚生育、信息登记错误等），可通过司法亲子鉴定确认血缘关系。需选择具有司法鉴定资质的机构，由父亲和孩子共同采样（如血液、毛发等），鉴定报告会明确给出“支持”或“排除”生物学父子关系的结论，法院通常直接采信此类证据。

3. 户籍登记记录
   户口簿中孩子与父亲的登记关系（如“父子”“父女”）可作为辅助证明，但需注意：户籍登记本身需基于其他证据（如出生证明或亲子鉴定），若登记信息有误，需先通过上述方式修正后再作为证据使用。

4. 其他间接证据组合
   在缺乏直接证明时，可通过多份间接证据形成证据链，例如：

   • 父亲与孩子共同生活的照片、视频；
     
   • 父亲支付抚养费、教育费的转账记录；
     
   • 父亲参与孩子成长过程的证人证言（如亲属、老师、邻居）；
     
   • 父亲在孩子重要文件（如入学申请、医疗同意书）上以“父亲”身份签字的材料。
     此类证据需相互印证，证明父亲实际履行了抚养义务或存在亲密关系。

特殊情况处理

• 若父亲已故，可调取其生前户籍档案、人事档案或遗嘱中提及子女的部分；
  
• 若涉及涉外亲子关系，需根据两国法律办理公证认证手续（如出生证明的双认证）；
  
• 若父亲拒绝配合鉴定，可向法院起诉要求确认亲子关系，法院可强制其配合或根据现有证据推定。

建议
根据具体需求选择证明方式：若用于落户、入学等行政事务，优先提供出生证明或亲子鉴定；若用于诉讼，需结合直接证据与间接证据综合举证。如有复杂情况（如代孕、收养等非传统生育方式），建议进一步说明细节以便针对性分析。