结论：付首付款时未具备购房资格，后续才获得购房资格，是否构成违约需分情况讨论，关键在于购房合同中的相关约定以及当地购房政策的具体要求。

分析如下：

1. 购房合同中的约定：

   • 若合同中有明确条款：如果购房合同中明确规定了购房者需在签订合同时即具备购房资格，或者规定了购房资格的取得时间节点，而购房者在付首付款时未满足这些条件，那么即使后续获得了购房资格，也可能因违反合同约定而被视为违约。此时，购房者可能需要承担合同约定的违约责任，如支付违约金、赔偿损失等。
   • 若合同中无明确条款：如果购房合同中没有明确规定购房资格的取得时间或条件，那么购房者在付首付款时未具备购房资格，后续才获得，通常不会被视为违约。因为合同未对此作出明确限制，购房者有权在后续时间内满足购房资格要求。

2. 当地购房政策的具体要求：

   • 政策限制：不同地区的购房政策可能有所不同，有些地区可能要求购房者在签订购房合同时即具备购房资格，而有些地区则可能允许购房者在一定时间内补齐购房资格。因此，购房者需仔细了解并遵守当地的购房政策，以免因政策不符而构成违约。
   • 政策变化：此外，购房政策可能随时间发生变化。如果购房者在付首付款时未具备购房资格，但后续政策发生变化，使得其获得了购房资格，那么这种情况通常不会被视为违约。然而，如果政策变化导致购房者无法再获得购房资格，那么购房者可能需要与开发商协商解决方案，如解除合同、退款等。

法律建议：

• 仔细审查合同：购房者在签订购房合同前，应仔细审查合同中的相关条款，特别是关于购房资格的约定。如有疑问或不明确之处，应及时向开发商或专业律师咨询。
• 了解当地政策：购房者需了解并遵守当地的购房政策，确保自己具备购房资格或能够在规定时间内补齐购房资格。
• 及时沟通协商：如果购房者在付首付款时未具备购房资格，但后续有望获得，建议及时与开发商沟通协商，说明情况并寻求解决方案。如双方能够达成一致意见，可签订补充协议以明确双方的权利和义务。

可能后果：

• 若构成违约：购房者可能需要承担合同约定的违约责任，如支付违约金、赔偿损失等。同时，开发商也有权根据合同约定解除合同或要求购房者继续履行合同。
• 若不构成违约：购房者则无需承担违约责任，可以继续履行合同或根据双方协商的结果处理后续事宜。

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