法院会根据欠款人提出的异议申请及实际情况，综合判断是否允许分期还款，具体处理方式如下：

1. 审查异议申请的合法性与合理性
   法院首先会审查欠款人提出的异议申请是否符合法定条件。例如，欠款人需证明其因客观原因（如突发疾病、失业等）导致暂时无力偿还全部债务，且分期还款方案具有可行性（如明确的还款计划、担保措施等）。若申请材料不完整或理由不充分，法院可能驳回申请，要求欠款人继续履行原判决。

2. 组织双方协商或听证
   若异议申请具有初步合理性，法院可能组织债权人（如银行、贷款机构）与欠款人进行协商，或通过听证程序进一步核实情况。协商过程中，欠款人需提出具体的分期还款方案（如分期期限、每期金额、利息计算方式等），债权人则可评估方案的可行性并表达意见。法院会居中调解，推动双方达成一致。

3. 根据协商结果或听证情况作出裁定

   • 若双方达成一致：法院会出具调解书或裁定书，明确分期还款的具体条款（如还款期限、金额、违约责任等）。调解书或裁定书具有强制执行力，若欠款人未按约定履行，债权人可直接申请强制执行剩余债务。
     
   • 若双方未达成一致：法院会结合欠款人的财产状况、还款能力、债权人利益等因素，综合判断是否支持分期还款。若支持，法院会直接裁定分期还款方案；若不支持，则维持原判决，要求欠款人一次性偿还债务。

4. 特殊情况下的处理

   • 欠款人恶意逃避债务：若法院发现欠款人通过虚假异议申请拖延执行，可能对其采取罚款、拘留等强制措施，甚至追究刑事责任（如拒不执行判决、裁定罪）。
     
   • 债权人同意分期但法院未支持：若债权人出于商业考虑同意分期，但法院认为分期可能损害其他债权人利益或违反法律规定（如涉及优先受偿权），可能驳回申请。

建议：

• 若您是欠款人，提出异议申请时需提供充分证据（如收入证明、医疗证明等），并制定切实可行的还款计划，以增加法院支持的可能性。
  
• 若您是债权人，可要求欠款人提供担保（如房产抵押、第三方保证）以降低风险，并在协商中明确违约责任（如提前收回全部债务、加收违约金等）。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合具体案情为您提供详细分析。