交警不出具交通事故责任认定书时，您可以通过以下途径依法维权，具体处理方式需结合事故实际情况选择适用：

1. 向上级公安机关交通管理部门申请复核
   根据《道路交通事故处理程序规定》第七十一条，若对事故认定有异议或交警未在法定期限内出具认定书（一般自现场调查之日起10日内，需检验鉴定的不超过50日），您可向作出认定的交警支队或大队的上级部门（如市公安局交通管理局）提出书面复核申请。复核申请需在收到认定书3日内提出，未出具的可在知道权益受损后及时申请。复核机关将重新审查证据、程序合法性，并作出维持、撤销或责令重新认定的决定。

2. 通过行政诉讼督促履行法定职责
   若交警部门无正当理由拖延或拒绝出具认定书，您可依据《行政诉讼法》第十二条，以交警部门为被告向法院提起行政诉讼，要求其履行法定职责。法院将审查交警部门是否存在不作为或程序违法，若认定违法，可判决其限期出具认定书。此途径需注意诉讼时效（一般自知道权益受损之日起6个月内）。

3. 利用调解或诉讼程序间接推动认定
   在民事赔偿纠纷中，若交警未出具认定书，您可向调解委员会申请调解或直接向法院提起民事诉讼。根据《道路交通安全法》第七十四条，调解或诉讼过程中，法院或调解机构可要求交警部门补充出具认定书，或根据现有证据（如现场照片、证人证言、监控录像等）自行划分责任比例。此时，您需积极收集并提交证据以支持己方主张。

操作建议：

• 优先通过书面形式（如挂号信、电子邮件）向交警部门催告，要求其说明未出具认定书的原因及预计时间，并保留催告记录作为后续维权证据。
  
• 若涉及人身伤害或重大财产损失，建议同步委托律师介入，通过律师调查令调取事故卷宗、申请司法鉴定等，增强维权力度。
  
• 复核或诉讼过程中，重点审查交警部门是否履行了现场勘查、询问证人、检验鉴定等法定程序，若存在程序违法，可主张认定书无效或要求重新认定。
  

法律依据：

• 《道路交通事故处理程序规定》第六十二条、第七十一条
  
• 《行政诉讼法》第十二条、第四十七条
  
• 《道路交通安全法》第七十三条、第七十四条
  

如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我说明，我将结合实际情况为您提供更精准的解决方案。