家养宠物被别的狗咬伤，责任主要由咬人狗的饲养人或管理人承担，但具体责任分配需根据实际情况判断。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

一、一般原则：饲养人或管理人的无过错责任

根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条的规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。这一原则同样适用于动物之间的损害，即如果您的家养宠物被别人的狗咬伤，且您没有故意或重大过失，那么咬人狗的饲养人或管理人应承担侵权责任。

举例说明：假设您的宠物狗在小区内正常遛弯时，被邻居家的狗突然咬伤，且您并未对邻居家的狗进行任何挑衅或攻击行为，那么邻居作为咬人狗的饲养人，应承担赔偿责任。

二、例外情况：被侵权人的故意或重大过失

如果能够证明损害是因被侵权人（即您的宠物狗的主人）故意或者重大过失造成的，咬人狗的饲养人或管理人可以不承担或者减轻责任。

举例说明：如果您故意逗引或挑衅邻居家的狗，导致其咬伤您的宠物狗，那么邻居可能不承担或减轻赔偿责任。但这种情况较为少见，且需要对方提供充分证据证明您的故意或重大过失。

三、第三人过错导致的责任

如果因第三人的过错致使动物造成他人损害的，被侵权人可以向动物饲养人或者管理人请求赔偿，也可以向第三人请求赔偿。动物饲养人或者管理人赔偿后，有权向第三人追偿。

举例说明：假设在您的宠物狗被邻居家的狗咬伤的过程中，有第三人故意挑衅或激怒邻居家的狗，导致其咬伤您的宠物狗，那么您可以选择向邻居或第三人索赔。如果选择向邻居索赔，邻居在赔偿后有权向第三人追偿。

四、特殊情形下的责任

对于攻击性强、易造成伤害的烈性犬等特殊动物，除非能证明是被侵权人故意或重大过失导致，否则饲养人或管理者都应承担侵权责任。此外，如果咬人狗是遗弃或逃逸的动物，在遗弃、逃逸期间造成他人损害的，由动物原饲养人或者管理人承担侵权责任。

五、建议措施

1. 保留证据：在您的宠物狗被咬伤后，应及时拍照或录像记录现场情况，包括两只狗的状态、伤口情况等。同时，保存好所有医疗相关文件，如诊断证明、病历、检查报告、用药清单及医疗费发票等。
2. 与对方协商：主动联系咬人狗的饲养人或管理人，告知其事件发生情况，并提供已固定的证据。根据宠物狗的受伤程度和治疗费用，提出合理的赔偿要求。
3. 申请调解或提起诉讼：如果协商不成，可以向当地居民委员会、村民委员会或街道办事处等基层组织申请调解。若调解无果，可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，要求咬人狗的饲养人或管理人承担赔偿责任。

总结：家养宠物被别的狗咬伤后，责任主要由咬人狗的饲养人或管理人承担。但具体责任分配需根据实际情况判断，包括被侵权人的行为、是否存在第三人过错以及动物的特性等因素。在处理此类事件时，建议您保留好相关证据，并与对方协商解决。如果协商不成，可以寻求法律帮助来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。