在学校发生工伤事故时，处理流程及赔偿方式需遵循一定的法定程序，以确保受伤教职工的合法权益得到充分保障。以下是一个详细且清晰的解答：

一、及时救治与报告

1. 及时救治：

   • 一旦教职工在学校发生工伤，学校应立即将其送往具备救治能力的医疗机构进行治疗，确保职工能够得到及时且有效的医疗救助。

2. 报告义务：

   • 学校相关部门需在规定时间内（一般为事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内）向当地劳动保障行政部门和工伤保险经办机构报告工伤事故情况，以便后续流程的顺利进行。

二、工伤认定申请

1. 申请材料准备：

   • 工伤认定申请表：详细填写工伤事故的基本情况。
   • 劳动关系证明材料：如劳动合同、工资发放记录等，以证明受伤职工与学校之间的劳动关系。
   • 医疗机构诊断证明：医疗机构出具的受伤后诊断证明书或职业病诊断证明书。
   • 其他证明材料：如事故现场证人证言、监控视频等，有助于证明工伤事故的真实性和原因。

2. 提交与受理：

   • 用人单位（即学校）负责准备并提交上述材料至当地劳动保障行政部门。
   • 若用人单位未在规定时间内提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内直接向劳动保障行政部门提出申请。

三、劳动能力鉴定

1. 申请条件：

   • 工伤职工经治疗伤情相对稳定后，若存在残疾或影响劳动能力的情况，应进行劳动能力鉴定。

2. 申请流程：

   • 由用人单位、工伤职工或其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供相关材料。

3. 鉴定内容：

   • 包括劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度的等级鉴定，分为十个伤残等级和生活自理障碍的三个等级，为后续的工伤保险待遇支付提供依据。

四、工伤保险待遇支付

1. 确定待遇：

   • 根据工伤认定结果和劳动能力鉴定等级，确定工伤职工应享受的工伤保险待遇，包括但不限于医疗待遇、停工留薪期待遇、伤残待遇等。

2. 支付方式：

   • 若学校已依法参加工伤保险，相关待遇由工伤保险基金支付。
   • 若学校未依法缴纳工伤保险费，则由学校按照《工伤保险条例》规定的标准支付费用。

五、特殊情况说明

• 对于非编制内教师，他们与学校形成的是雇佣关系而非劳动关系，因此在学校受伤不构成工伤。此时，非编制内教师可基于人身损害赔偿请求学校承担相应的责任，具体赔偿责任和赔偿金额需根据实际情况和法律规定进行确定。

六、争议解决途径

在工伤认定、劳动能力鉴定、工伤保险待遇支付等过程中，若职工与学校之间发生争议，可通过以下途径解决：

1. 协商：双方自行协商解决争议。
2. 调解：向本单位劳动争议调解委员会或基层人民调解组织等申请调解。
3. 仲裁：不愿协商、协商不成或达成和解协议后不履行的，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
4. 诉讼：对仲裁裁决不服的，除法律另有规定外，可向人民法院提起诉讼。

综上所述，处理学校工伤事故需遵循法定程序，确保受伤教职工的合法权益得到充分保障。同时，对于特殊情况下的非编制内教师受伤问题，也需根据实际情况和法律规定进行妥善处理。