家庭成员生病，公司一般不可以随意辞退员工。以下从不同角度进行详细分析：

1. 劳动合同法的保护：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定情形，如员工严重违反公司规章制度、严重失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等。家庭成员生病并不属于这些法定解除劳动合同的情形。
   • 若公司以员工家庭成员生病为由辞退员工，可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。

2. 医疗期的特殊规定：

   • 如果员工本人因病需要治疗，根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工享有法定的医疗期。在医疗期内，公司不得解除劳动合同。
   • 医疗期的具体长度根据员工的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。在医疗期内，公司应支付员工病假工资或疾病救济费，且不得低于当地最低工资标准的80%。

3. 公司可能存在的合法解除情形：

   • 尽管家庭成员生病不是公司解除劳动合同的合法理由，但如果员工因家庭成员生病而长期无法到岗工作，且未按照公司规定履行请假手续或提供必要的医疗证明，公司可能根据规章制度解除劳动合同。但这种情况需要公司有明确的规章制度作为依据，并且该规章制度已经过民主程序制定并公示。
   • 另外，如果员工因家庭成员生病导致无法胜任工作，且经过培训或调整工作岗位后仍无法胜任，公司也可以提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付员工一个月工资后解除劳动合同。但这种情况同样需要公司有充分的证据证明员工无法胜任工作，并且已经履行了必要的程序。

4. 法律建议：

   • 如果员工遇到公司以家庭成员生病为由辞退的情况，应首先与公司沟通协商，了解公司的具体理由和依据。
   • 如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
   • 在申请劳动仲裁时，员工应提供相关证据证明公司的行为违法，如劳动合同、工资单、医疗证明等。

可能产生的法律后果：

• 如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的计算标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
• 如果员工因家庭成员生病而长期无法到岗工作，且未按照公司规定履行请假手续或提供必要的医疗证明，公司可能根据规章制度解除劳动合同。但这种情况下，公司需要承担举证责任，证明员工存在违反规章制度的行为。

综上所述，家庭成员生病并不是公司解除劳动合同的合法理由。员工在遇到此类情况时，应了解自己的权益和法律途径，积极维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。