在监外执行期间，被执行人确实享有投诉的权利。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定，被监外执行的罪犯在执行期间，其合法权益应得到保障。这包括但不限于人身自由、人格尊严、申诉、控告、检举等权利。投诉作为申诉、控告的一种形式，自然也在被执行人的权利范围之内。

2. 投诉的内容与范围：

   • 被执行人可以就监外执行过程中的违法、违规行为进行投诉，如执行机关的不当行为、侵犯其合法权益的行为等。同时，如果被执行人认为自己的监外执行条件发生了变化，如病情好转或恶化，也可以向相关部门提出调整执行方式的申请或投诉。

3. 投诉的途径与方式：

   • 被执行人可以通过书面或口头形式向执行机关或其上级机关提出投诉。在投诉时，应尽可能提供详细的证据和事实依据，以便相关部门能够准确了解情况并作出处理。此外，被执行人还可以通过律师或法律援助机构等渠道进行投诉，以维护自己的合法权益。

4. 投诉后的处理与结果：

   • 执行机关或其上级机关在收到被执行人的投诉后，应依法进行调查核实。如果投诉属实，应依法纠正错误行为或调整执行方式；如果投诉不属实或无法查实，也应向被执行人说明情况并告知其处理结果。同时，被执行人对处理结果有异议的，还可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

5. 注意事项：

   • 被执行人在行使投诉权利时，应遵守法律法规和监外执行的相关规定，不得捏造事实、诬告陷害他人或进行其他违法行为。否则，将可能面临法律责任和处罚。

法律建议：

• 如果您在监外执行期间遇到任何违法、违规行为或认为自己的合法权益受到侵犯，建议及时向执行机关或其上级机关提出投诉，并保留好相关证据和事实依据。
• 同时，您也可以咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。

可能后果：

• 如果投诉属实且得到及时处理，您的合法权益将得到保障，监外执行过程也将更加公正、合法。
• 如果投诉不属实或无法查实，您可能会面临一定的解释和说明义务，但通常不会因此承担法律责任。然而，如果投诉过程中存在捏造事实、诬告陷害等违法行为，您将可能面临法律责任和处罚。