结论：拘留期间住院治病，病愈后是否继续拘留，需根据具体情况判断，主要取决于原拘留决定的合法性、病情严重程度及治疗情况等因素。以下从不同角度详细分析：
一、原拘留决定的合法性
拘留决定合法有效：
- 若原拘留决定是依法作出的，且拘留期限尚未届满，那么被拘留人在病愈后，原则上应继续执行拘留。这是因为拘留作为一种强制措施，其执行具有连续性，除非出现法定中止或终止情形。
拘留决定存在违法或不当：
- 若原拘留决定存在违法或不当情形，如证据不足、程序违法等，那么被拘留人或其家属有权依法提出申诉或控告。在此情况下，若经审查确认拘留决定确实存在问题，那么病愈后可能不再继续执行拘留，而是采取其他法律措施。
二、病情严重程度及治疗情况
病情严重，需长期治疗：
- 若被拘留人在拘留期间突发严重疾病，需要长期住院治疗，且治疗期间无法执行拘留的，那么根据相关规定，可以中止拘留的执行。中止执行的情形消失后，若拘留期限尚未届满，应恢复执行拘留。但需注意，中止执行并不意味着拘留决定的撤销，而是暂时停止执行。
病情较轻，短期可治愈：
- 若被拘留人的病情较轻，经过短期治疗即可痊愈，且不影响拘留执行的，那么病愈后应继续执行拘留。在此情况下，拘留的连续性不受影响。
三、特殊情形下的处理
患有严重疾病，生活不能自理：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，对于患有严重疾病，生活不能自理的犯罪嫌疑人、被告人，可以采取取保候审或者监视居住的措施。若被拘留人在拘留期间被诊断出患有此类疾病，且符合取保候审或监视居住的条件，那么病愈后可能不再继续执行拘留，而是转为取保候审或监视居住。
怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：
- 同样根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，对于怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，也可以采取取保候审或者监视居住的措施。若被拘留人符合此条件，且在拘留期间怀孕或哺乳婴儿，那么病愈后可能不再继续执行拘留。
四、实际操作中的注意事项
- 及时沟通：被拘留人或其家属应及时与拘留机关沟通，说明病情及治疗情况，以便拘留机关根据实际情况作出合理决定。
- 保留证据：在治疗过程中，应保留好相关医疗证明、病历等证据材料，以备后续需要时提供。
- 依法维权：若认为拘留决定存在违法或不当情形，或病愈后应继续执行拘留但拘留机关未依法执行的，被拘留人或其家属有权依法提出申诉或控告。
建议：若您或您身边的人遇到此类情况，建议及时咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的法律策略。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。