结论前置：借款合同延期后，担保人是否继续承担担保责任，主要取决于是否经过担保人的书面同意以及担保合同中的相关约定。未经担保人书面同意擅自延期的，担保人一般不承担延期后的担保责任；若有明确约定或担保人书面同意的，则担保人需按约定或新协议承担担保责任。
详细分析：
未经担保人书面同意的情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债权人和债务人未经保证人书面同意，协商变更主债权债务合同内容，如延长履行期限，若加重了债务，保证人对加重的部分不承担保证责任。这意味着，如果借款合同延期未经担保人书面同意，且延期导致了债务人还款义务的加重（如利息增加、还款时间延长等），那么担保人对于延期后新增的债务部分，通常不再承担担保责任。
- 举例：假设原借款合同期限为一年，担保合同约定担保期限为一年。若借款到期后，债权人和债务人未经担保人同意将期限延长一年，且未重新签订担保协议，那么担保人对于这延长的一年内的债务，无需承担担保责任。
有明确约定的情况：
- 若担保合同中已明确约定，即使借款合同延期，担保人仍愿意继续承担担保责任，则担保人需按照该约定执行。这种约定应当以书面形式明确体现，以确保各方权益得到保障。
- 举例：担保合同中可以约定“若主合同借款期限发生变更，担保人同意继续承担担保责任，直至债务全部清偿完毕”。在此情况下，无论借款合同如何延期，担保人都需按约定承担相应责任。
担保人同意的情况：
- 如果债权人、债务人和担保人三方经协商一致，书面同意借款合同延期，并明确担保人继续承担担保责任，那么担保人需根据新的约定对延期后的债务承担担保责任。这是基于三方新的合意对原有权利义务关系的重新确定。
- 举例：债权人和债务人协商决定将借款合同期限延长一年，并征得了担保人的书面同意。同时，三方签订了补充协议，明确担保人对于延期后的债务继续承担担保责任。在此情况下，担保人的责任是明确且不可推卸的。
法律建议：
- 对于债权人：在借款合同延期时，务必与担保人进行充分沟通，并尽量取得担保人的书面同意。同时，可以考虑与担保人签订补充协议，明确延期后的担保责任和期限，以避免潜在的法律纠纷。
- 对于担保人：在面对借款合同延期的情况时，应仔细审查延期协议的内容，特别是关于担保责任的部分。如果未经自己书面同意，且延期可能加重自己的担保责任，那么有权拒绝承担延期后的担保责任。
- 对于债务人：应认识到借款合同延期可能涉及担保人的权益，因此应积极与债权人和担保人进行沟通，确保延期协议得到各方的认可和支持。
总结：借款合同延期后担保人是否继续承担担保责任，取决于是否经过担保人的书面同意以及担保合同中的相关约定。在处理此类问题时，各方应充分考虑法律规定和合同约定，以确保自身权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。