结论：刑事案件中的罚金逾期缴纳，确实可能面临加处罚金或支付迟延履行金的情况。
一、加处罚金的情况
根据《中华人民共和国刑法》第五十三条及最高人民法院《关于适用财产刑若干问题的规定》的相关条款，罚金应在判决指定的期限内缴纳。若期满未缴纳，人民法院不仅有权强制缴纳，还可能酌情决定对被执行人加处未缴纳罚金数额百分之二十以下的罚金。这一规定明确了罚金逾期缴纳可能面临的加处罚金的法律后果。
举例说明：假设某刑事案件判决被告人缴纳罚金10万元，判决指定的缴纳期限为判决生效后一个月内。若被告人期满未缴纳，且无正当理由，人民法院在强制缴纳的同时，可能决定加处被告人未缴纳罚金数额（即10万元）的百分之二十，也就是2万元作为加处罚金。
二、支付迟延履行金的情况
除了加处罚金外，根据相关法律规定，若被执行人未按判决、裁定或其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务，还需加倍支付迟延履行期间的债务利息。这里的“迟延履行金”在罚金逾期缴纳的语境下，可以理解为因逾期缴纳而需额外支付的利息或费用。虽然直接的法律条文可能并未明确提及“迟延履行金”这一术语，但“加倍支付迟延履行期间的债务利息”实质上起到了类似的作用，即对逾期缴纳行为的经济惩罚。
举例说明：继续以上述案例为例，若被告人逾期缴纳罚金，除了可能面临加处的2万元罚金外，还需根据逾期的时间和罚金的数额，按照法律规定支付一定比例的迟延履行期间的债务利息。这一利息的计算通常基于罚金的数额和逾期的天数，具体比例可能因地区和案件性质而异。
三、特殊情况下的处理
当然，法律也考虑到了被执行人可能因遭遇不可抗拒的灾祸等特殊情况导致缴纳困难的情况。根据《中华人民共和国刑法》第五十三条的规定，若因遭遇不能抗拒的灾祸等原因缴纳确实有困难的，经人民法院裁定，可以延期缴纳、酌情减少或者免除罚金。这一规定体现了法律的人文关怀和灵活性。
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