一审判决不上诉，在判决生效后且义务方未履行义务时，权利方即可向法院申请执行。以下是关于这一问题的详细解答：

一、判决生效的时间

1. 民事案件：一审判决后，如果双方在法定期限内（通常是15天）均未提起上诉，那么判决将在上诉期满后生效。例如，若判决于2023年1月1日作出，双方上诉期均至2023年1月16日，若均未上诉，则判决于2023年1月17日生效。

2. 刑事案件：对于刑事案件中的财产刑部分，如罚金、没收财产等，判决生效时间同样遵循上述规则，但执行通常由法院依职权启动，无需当事人申请。

二、申请执行的期限与条件

1. 期限：民事案件申请执行的期间为两年，自法律文书规定履行期间的最后一日起计算。若判决规定履行期为判决生效后10日内，则申请执行期限从判决生效后的第11日起算两年。

2. 条件：在法定期限内未提起上诉或抗诉的一审判决生效后，若义务方未按判决履行义务，权利方可向法院申请强制执行。

三、执行程序的具体步骤

1. 提交执行申请：权利人需向一审法院立案庭提交《强制执行申请书》，附生效判决书复印件及身份证明等材料。法院审查材料齐全后予以立案。

2. 发出执行通知：法院向被执行人送达《执行通知书》，责令其在指定期限内履行义务，并告知逾期履行的法律后果。

3. 采取执行措施：

   • 查询财产：通过“总对总”“点对点”系统查控银行存款、房产、车辆等资产。
   • 控制财产：冻结银行账户、查封房产车辆、扣押动产等。
   • 强制处置：对可供执行财产进行拍卖变卖，所得款项用于清偿债务。
   • 信用惩戒：将失信被执行人纳入征信黑名单，限制高消费、出入境等。

4. 执行终结处理：

   • 若被执行人主动履行完毕，法院出具结案通知书。
   • 查无可供执行财产的，经申请人同意可裁定终结本次执行程序，发现新财产线索后可恢复执行。

四、特殊情形下的执行规则

1. 刑事裁判涉财产部分：罚金、没收财产等由第一审法院执行机构负责执行，无需当事人申请。

2. 行政判决：行政机关拒不履行判决的，法院可采取公告、罚款、提出司法建议等措施。

五、权利保障与执行救济

1. 参与分配制度：被执行人为公民或其他组织的，普通债权人可在执行程序中申请参与分配。

2. 执行异议：当事人或利害关系人对执行行为有异议的，可依法提出书面异议。

3. 国家赔偿：因错误执行造成损害的，可依法申请国家赔偿。

总结与建议：一审判决不上诉后，权利方应密切关注判决生效时间，并在义务方未履行义务时及时向法院申请执行。在执行过程中，若遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。