在民事案件中，如果再审申请被法院驳回，当事人向人民检察院申请抗诉的期限，虽然《中华人民共和国民事诉讼法》并未直接规定一个具体的、一成不变的期限，但结合相关司法解释和实践，可以明确以下几点：

1. 一般情况下的期限：

   • 当事人应当在知道或者应当知道再审申请被驳回之日起六个月内提出抗诉申请。这一期限与当事人申请再审的期限（自判决、裁定发生法律效力后六个月内）相呼应，体现了法律对当事人权利救济的及时性和有效性要求。例如，如果当事人在2023年1月1日收到再审驳回的裁定，那么他们通常需要在2023年7月1日之前向人民检察院提出抗诉申请。

2. 特殊情况下的处理：

   • 如果存在《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条（原第二百条，经修订后条款编号有所变化，但内容基本一致）第一项至第五项规定情形之一的，如“有新的证据，足以推翻原判决、裁定的”、“原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的”等，当事人可以在知道或者应当知道之日起六个月内提出抗诉申请，且该期限自相关情形出现之日起计算。这意味着，如果当事人在再审驳回后发现了新的证据，他们可以在发现该证据之日起六个月内提出抗诉申请，而不受再审驳回裁定作出时间的限制。
   • 对于超过法定期限但仍存在重大错误或显失公平的判决、裁定，检察院在特定条件下仍可能依职权启动监督程序，但这属于例外情况，并非当事人申请抗诉的常规途径。

申请抗诉的程序及注意事项：

• 提交材料：当事人需要准备抗诉申请书、身份证明、相关法律文书（如判决书、裁定书、再审裁定书等）以及证据材料等。这些材料应当真实、完整，并按照规定的格式和要求进行书写和提交。
• 选择受理检察院：一般情况下，当事人应向作出生效判决、裁定的人民法院的同级人民检察院提出申请。如果生效判决、裁定是经过再审程序的，则通常由原再审法院的同级人民检察院受理。
• 检察院审查与处理：检察院会对当事人的抗诉申请进行审查，包括形式审查和实质审查。如果检察院认为符合抗诉条件，会向法院提出抗诉；如果不符合条件，则会作出不予抗诉的决定。当事人应密切关注检察院的审查进度和结果，并积极配合检察院的工作。

建议：

• 当事人在申请抗诉时，应尽早准备相关材料，并确保提供的材料真实、完整。
• 如果对法律程序或相关法律规定不熟悉，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律指导。

总之，民事案件再审被驳回后，当事人向人民检察院申请抗诉的期限并非固定不变，而是根据具体情况和法律规定来确定。当事人应尽快行动，并遵循相关法律程序和要求，以维护自己的合法权益。