结论：能否开具无犯罪记录证明，主要取决于您父亲当前是否仍存在犯罪记录，而非其犯罪时的年龄。若您父亲已满足相关条件，即犯罪时不满十八周岁且被判处五年有期徒刑以下刑罚，同时其犯罪记录已被依法封存，那么在一般情况下，他可以申请开具无犯罪记录证明。
分析说明：
犯罪记录封存制度：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百八十六条的规定，犯罪的时候不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。
- 犯罪记录被封存的，不得向任何单位和个人提供，但司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询的除外。依法进行查询的单位，应当对被封存的犯罪记录的情况予以保密。
无犯罪记录证明的开具：
- 无犯罪记录证明通常用于证明个人在一定时期内没有犯罪记录，是求职、出国、办理某些业务等场合的常见要求。
- 若您父亲的犯罪记录已被依法封存，且没有其他未封存的犯罪记录，那么在一般情况下，他可以申请开具无犯罪记录证明。但需要注意的是，具体能否开具还需根据当地公安机关的规定和实际操作来确定。
特殊情况考虑：
- 如果您父亲在犯罪时不满十八周岁，但被判处的刑罚超过五年有期徒刑，那么他的犯罪记录将不会被封存，此时他可能无法开具无犯罪记录证明。
- 另外，即使犯罪记录被封存，如果司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询，仍然可以查询到相关犯罪记录。但这并不影响他在其他一般情况下申请开具无犯罪记录证明。
行动建议：
- 如果您父亲需要开具无犯罪记录证明，建议他首先了解当地公安机关的具体规定和要求。
- 他可以携带相关身份证明文件，前往当地公安机关进行咨询和申请。
- 如果公安机关拒绝开具无犯罪记录证明，他可以要求公安机关出具书面说明，并了解拒绝的具体原因。如果认为公安机关的决定有误，他可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
后续思考：
- 犯罪记录封存制度旨在保护未成年人的隐私和未来发展，但并不意味着犯罪记录被完全消除。因此，在申请开具无犯罪记录证明时，需要了解并遵守相关规定。
- 如果您父亲在犯罪后已经改过自新，且没有其他违法犯罪行为，那么他应该积极面对生活，努力提升自己的社会形象和信誉度。