结论：把人打成轻伤一级后逃跑，被抓后将面临刑事责任的追究，但具体处理方式会因案件具体情况而有所不同。以下是从多个角度对这一问题的详细分析：
一、法律责任
刑事责任：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体，致人轻伤的，构成故意伤害罪，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。
- 在您描述的情况下，由于已经造成了轻伤一级的后果，且行为人存在逃跑行为，这可能会被视为情节恶劣，从而在量刑时予以考虑，可能面临更重的刑罚。
民事责任：
- 除了刑事责任外，行为人还需要承担民事赔偿责任，包括赔偿受害人的医疗费、误工费、护理费等因伤害造成的直接经济损失。
二、被抓后的处理流程
刑事拘留：
- 一旦被抓，行为人可能会被公安机关刑事拘留，这是为了保障刑事诉讼的顺利进行而采取的强制措施。
侦查阶段：
- 在刑事拘留期间，公安机关会进行侦查，收集证据，查明案件事实。
- 行为人有权委托律师进行辩护，律师可以在此阶段为行为人提供法律帮助，如申请取保候审、会见行为人等。
审查起诉阶段：
- 侦查终结后，案件会移送至检察机关进行审查起诉。
- 检察机关会审查案件证据是否充分，是否构成犯罪，并决定是否提起公诉。
审判阶段：
- 如果检察机关提起公诉，案件将进入审判阶段。
- 在审判阶段，法院会依法审理案件，并根据事实和法律作出判决。
三、可能的法律后果及应对策略
量刑情节：
- 逃跑行为可能会被视为量刑时的加重情节，但具体是否加重以及加重的幅度，需要由法院根据案件具体情况进行裁量。
- 如果行为人能够积极赔偿受害人的损失，取得受害人的谅解，这可能会在量刑时予以考虑，从轻或减轻处罚。
取保候审：
- 在侦查阶段或审查起诉阶段，行为人或其家属可以向公安机关或检察机关申请取保候审。
- 取保候审需要满足一定的条件，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的等。
- 如果取保候审申请被批准，行为人将能够在不被羁押的情况下等待审判。
辩护策略：
- 在审判阶段，律师会根据案件事实和法律为行为人制定辩护策略。
- 辩护策略可能包括无罪辩护、罪轻辩护等，具体取决于案件的具体情况和证据情况。
四、建议
尽快委托律师：
- 鉴于案件的严重性和复杂性，建议行为人或其家属尽快委托一位专业律师进行辩护。
- 律师将能够为行为人提供全面的法律帮助，包括申请取保候审、会见行为人、制定辩护策略等。
积极配合调查：
- 行为人应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述案件事实，提供相关证据。
- 配合调查有助于查明案件真相，为行为人争取更好的处理结果。
关注案件进展：
- 行为人或其家属应密切关注案件的进展情况，及时与律师沟通，了解案件的最新动态。
如果您或您身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和帮助。