结论：在您请律师帮忙起诉对面肇事司机的同时，确实可以请求律师顺便帮您与厂里进行协商，但这取决于律师的工作安排、时间精力以及协商事项的复杂程度，且最好在委托合同中明确相关约定。
详细分析：
律师的职责与权限：
- 律师作为您的法律代理人，其职责是根据您的委托，代表您处理法律事务，包括起诉肇事司机、参与调解、协商等。
- 在您与律师签订的委托合同中，通常会明确律师的代理权限和范围。如果您希望律师同时处理与厂里的协商事宜，最好在合同中明确约定，以确保律师有明确的授权和依据。
律师的时间与精力：
- 律师的工作往往非常繁忙，需要处理多个案件和事务。因此，在请求律师同时处理多项事务时，需要考虑律师的时间和精力是否允许。
- 如果与厂里的协商事项相对简单，且不占用律师太多时间，那么律师可能会同意同时处理。但如果协商事项复杂，或者需要投入大量时间和精力，律师可能会建议您另行委托或寻找其他合适的人选。
协商事项的复杂程度：
- 与厂里的协商可能涉及多个方面，如工伤赔偿、劳动关系处理等。这些事项的复杂程度各不相同，有的可能相对简单，有的则可能非常复杂。
- 如果协商事项简单，且律师具备相关经验和知识，那么律师可能会同意同时处理。但如果协商事项复杂，或者涉及专业领域的知识，律师可能会建议您寻找更专业的人士或机构进行处理。
实际操作建议：
- 在与律师沟通时，明确表达您的需求和期望，即希望律师同时处理起诉肇事司机和与厂里的协商事宜。
- 了解律师的工作安排和时间精力情况，以及协商事项的复杂程度，以便双方共同协商确定是否可行。
- 如果律师同意同时处理多项事务，最好在委托合同中明确约定相关事项和费用等，以避免后续产生纠纷。
后续行动建议：
- 如果您已经与律师签订了委托合同，但合同中未明确约定与厂里协商的事宜，您可以与律师沟通并协商补充约定。
- 如果律师因时间精力或专业领域等原因无法同时处理多项事务，您可以考虑寻找其他合适的人选或机构进行处理，或者与律师协商分阶段处理各项事务。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国律师法》等相关法律法规，律师有权根据委托人的委托处理法律事务，但需要在委托合同中明确约定代理权限和范围。
- 在处理法律事务时，律师应当遵循诚实信用、勤勉尽责的原则，为委托人提供优质的法律服务。
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