中国公民是否可以将祖上留下的玉器卖给其他人，这主要取决于玉器的性质以及是否满足相关法律规定的条件。 以下从几个关键角度进行分析：

1. 玉器的所有权确认：

   • 首先，需要确认玉器是否确实属于你的个人财产，即你是否拥有其合法的所有权。如果玉器是通过继承、赠与等方式合法获得的，那么你通常有权对其进行处分，包括出售。
   • 如果玉器存在权属争议，比如有其他继承人主张权利，或者玉器属于家族共有财产，那么在出售前需要解决这些争议，确保出售行为的合法性。

2. 文物保护法的限制：

   • 如果玉器属于文物范畴，即具有历史、艺术、科学价值的古文化遗址、古墓葬、古建筑、石窟寺和石刻、壁画等不可移动文物，以及与上述不可移动文物相关的、具有历史、艺术、科学价值的可移动文物，那么出售行为将受到《中华人民共和国文物保护法》的严格限制。
   • 根据文物保护法，私人收藏的文物，严禁私自卖给外国人。同时，出售文物应当通过合法的文物商店或者经批准的文物拍卖企业进行，不得私下交易。
   • 如果玉器被认定为文物且属于国家所有（如出土文物），则个人无权出售，必须上交国家。

3. 合法交易的要求：

   • 即使玉器不属于文物范畴，出售时也需要遵守相关法律法规，如《中华人民共和国民法典》中关于买卖合同的规定。
   • 出售方应当确保玉器的来源合法，不存在盗窃、抢劫等非法获取的情况。
   • 交易双方应当签订书面买卖合同，明确双方的权利和义务，包括玉器的质量、价格、交付方式等。
   • 如果玉器价值较高，建议通过正规的拍卖行或古玩市场进行交易，以确保交易的合法性和安全性。

4. 税务方面的考虑：

   • 出售玉器可能涉及个人所得税的缴纳。根据《中华人民共和国个人所得税法》，个人出售财产（包括玉器）所得属于财产转让所得，应当缴纳个人所得税。
   • 税务的具体计算方式和税率可能因地区和政策而异，建议在出售前咨询当地税务部门或专业税务律师以获取准确信息。

行动建议：

• 在出售祖上留下的玉器前，建议先进行权属确认，确保自己拥有合法的所有权。
• 如果玉器可能属于文物范畴，建议咨询当地文物管理部门或专业律师，了解相关法律法规和出售程序。
• 在交易过程中，务必遵守相关法律法规，签订书面买卖合同，并保留好相关交易凭证。
• 如有需要，可以寻求专业律师的帮助，以确保交易的合法性和安全性。

如果你在出售玉器过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。