在劳动仲裁裁决书执行阶段，一般情况下是不可以申请不予执行的，但存在特定法定情形时可以申请。以下从不同角度为你详细分析：

法定可申请不予执行的情形

根据相关法律规定，被执行人提出证据证明仲裁裁决有下列情形之一的，经人民法院组成合议庭审查核实，裁定不予执行：

1. 裁决事项不属于劳动争议仲裁范围：例如，仲裁裁决涉及的是普通的民事合同纠纷，而非劳动争议范畴内的事项，像普通的买卖合同纠纷就不属于劳动争议仲裁范围，此时可以申请不予执行。
2. 适用法律确有错误：比如仲裁庭在裁决时错误地适用了已经废止的法律条款，或者对法律条文的理解和适用存在明显偏差，导致裁决结果不公正。例如，在计算经济补偿金时，错误地适用了旧的、已被修改的法律规定的计算标准。
3. 仲裁员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为：如果仲裁员在仲裁过程中存在收受一方当事人财物，为该方当事人谋取不正当利益，或者故意歪曲事实、违反法律进行裁决等行为，被执行人可以提供相关证据申请不予执行。例如，仲裁员私下与一方当事人接触，接受其宴请和礼品，在裁决时明显偏向该方。
4. 认定事实的主要证据不足：即仲裁庭在作出裁决时所依据的主要证据不充分、不确实，无法支持其认定的事实。比如，用人单位主张劳动者严重违反规章制度，但提供的证据仅是一些模糊的监控视频片段，无法清晰证明劳动者的违规行为，此时可以认为认定事实的主要证据不足。
5. 违反法定程序：包括仲裁庭的组成违反法定程序，如仲裁员应当回避而没有回避；仲裁过程中剥夺了当事人应有的权利，如未给予当事人充分的陈述和申辩机会等。例如，仲裁庭在开庭时，未通知一方当事人参加庭审，就直接作出裁决。

申请不予执行的程序和后果

• 申请程序：被执行人应当自收到执行通知书之日起十五日内向受理执行申请的人民法院提出书面申请，并附相关证据材料。人民法院组成合议庭对申请进行审查核实，必要时可以听取双方当事人的意见。
• 审查结果及后果：
  • 如果人民法院经审查认为仲裁裁决存在上述法定不予执行的情形，会裁定不予执行。此时，当事人可以根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以向人民法院起诉。
  • 如果人民法院经审查认为仲裁裁决不存在法定不予执行的情形，会裁定驳回被执行人的申请，继续执行仲裁裁决。

特殊情况说明

如果劳动仲裁裁决被人民法院裁定不予执行后，当事人没有重新达成仲裁协议或者仲裁协议无效的，那么当事人就不能再申请仲裁，而只能直接向人民法院提起诉讼。

建议：如果你认为劳动仲裁裁决书在执行阶段存在上述可以申请不予执行的情形，要及时收集相关证据，并在规定的时间内向受理执行申请的人民法院提出书面申请。如果你对具体的操作流程或证据收集等方面存在疑问，可以直接向我咨询。