结论：醉酒与司机争执是否会有案底取决于具体行为是否构成违法犯罪以及违法犯罪的严重程度，处理方式也因情况不同而有所差异。以下分情况详细说明：
一、是否会有案底
- 一般争执不违法
如果醉酒后与司机只是发生言语上的争执，没有实施任何违法行为，比如没有辱骂、殴打司机，没有破坏车辆等，那么这种情况不会受到行政处罚或刑事处罚，也就不会留下案底。案底通常是指某人犯罪行为的记录，一般存放在公安部门，只有经过法院判决有罪的人才会留下案底。
- 构成行政违法
- 若在争执过程中有辱骂司机的行为，且情节较为严重，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。受到行政处罚后，会有违法记录，但这不是案底，不过在一些特定情况下，如报考公务员等需要政审时，可能会产生一定影响。
- 如果对司机进行了殴打，但情节较轻，未造成严重后果，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。同样会留下违法记录。
- 构成刑事犯罪
- 如果在争执中殴打司机，导致司机轻伤及以上后果，那么可能构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。一旦被法院判决有罪，就会留下案底。
- 若在醉酒状态下抢夺司机方向盘、殴打司机等行为，危及公共安全，可能构成以危险方法危害公共安全罪。根据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条、第一百一十五条规定，以其他危险方法危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。这种情况下也会留下案底。
二、处理方式
- 一般争执
双方可以自行协商解决，互相道歉，化解矛盾。如果争执发生在公共交通工具上，司机可以向公安机关报案，公安机关可能会对双方进行批评教育，促使双方达成和解。
- 构成行政违法
- 公安机关会依法进行调查取证，根据违法情节作出相应的行政处罚决定。被处罚人如果对处罚决定不服，可以在收到处罚决定书之日起六十日内向作出处罚决定的公安机关的上一级公安机关或者同级人民政府申请行政复议，也可以在六个月内直接向人民法院提起行政诉讼。
- 受到行政处罚后，要按照处罚决定的要求履行义务，如缴纳罚款、接受拘留等。同时，要认识到自己的错误，避免再次违法。
- 构成刑事犯罪
- 公安机关会立案侦查，收集证据，对犯罪嫌疑人采取强制措施，如刑事拘留、逮捕等。犯罪嫌疑人有权委托律师为其辩护，律师可以会见犯罪嫌疑人，了解案件情况，为其提供法律帮助。
- 案件移送检察院审查起诉后，检察院会审查案件证据是否充分，犯罪事实是否清楚。如果认为符合起诉条件，会向法院提起公诉。在法院审理阶段，犯罪嫌疑人（此时称为被告人）可以进行辩护，法院会根据案件事实和法律规定作出判决。
- 如果被判决有罪，要认真接受改造，争取早日回归社会。同时，案底会伴随个人一生，对个人的就业、生活等方面可能会产生一定的限制。
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