农田灌溉井不可以私自打井，其合法性主要取决于打井的目的、规模以及是否获得了相关许可。以下是对此问题的详细分析：
一般农田灌溉井
- 非法情况：若农田灌溉井的打设未获得相关许可，尤其是当打井规模较大或涉及经营性用水时，这种行为通常被视为违法。农田灌溉往往涉及大量的水资源使用，若未经许可擅自打井，可能会破坏地下水资源平衡，影响周边地区的用水安全，甚至导致水质污染等环境问题。
- 法律后果：根据相关法律法规，未经许可擅自打井取水，水行政主管部门有权责令停止违法行为，限期补办手续，并可处以罚款等行政处罚。情节严重的，如造成重大水资源破坏或环境污染，可能会面临更严厉的法律制裁，包括刑事责任。
特殊情况下的合法打井
- 合法前提：在极少数特殊情况下，如当地水资源极度匮乏，且打井是为了满足基本农田灌溉需求，同时获得了相关部门的特别许可，那么这种打井行为可能是合法的。但这种情况非常罕见，且需要严格的审批程序和监管措施。
水资源管理与土地使用角度
- 水资源管理：从水资源管理的角度来看，私自打井可能会违反水资源规划和保护的相关规定。许多地方对地下水的开采和使用都有严格的管理规定，旨在保护水资源和生态环境。
- 土地使用：农村的土地使用权虽属于农民，但土地的使用必须符合国家的规划和政策。私自打井若影响了土地的整体规划或损害了公共利益，如破坏农田基础设施、影响他人正常生产生活等，这种行为也可能被视为违法。
建议与指导：
- 咨询了解：在打算打农田灌溉井之前，务必先向当地的乡镇政府、水行政主管部门或村委会咨询了解具体的规定和要求。了解当地的水资源状况、打井政策以及审批程序等信息。
- 申请许可：若打井涉及经营性或大规模取水，务必依法向相关部门申请取水许可。按照规定的程序和要求提交申请材料，并等待审批结果。
- 遵守规定：在打井过程中，严格遵守水资源管理、土地使用等相关法律规定。确保打井行为不损害他人权益和公共利益，同时保护水资源和生态环境。
综上所述，农田灌溉井不可以私自打井。为了确保打井行为的合法性并保障自身权益，建议在打井前充分了解相关法律法规和政策要求，并依法申请相关许可。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。