结论：处理掉这棵树的责任一般不在派出所，而应视具体情况，通过协商、民事诉讼或行政途径等合理合法的方式解决。
分析如下：
派出所的职责范围：
- 派出所主要负责维护社会治安秩序，处理治安案件和轻微的刑事案件，以及提供户籍管理等服务。
- 在邻里纠纷中，派出所通常会起到调解的作用，但并不会直接介入处理民事财产纠纷，如树木的归属和处理问题，除非该纠纷涉及到治安或刑事案件。
树木影响房屋的处理方式：
- 协商解决：首先，建议与邻居进行友好协商，尝试达成一个双方都能接受的解决方案，如修剪树木、移除树木或给予一定的经济补偿等。
- 民事诉讼：如果协商无果，且树木确实对房屋造成了实质性的损害或存在潜在的安全隐患，可以考虑通过民事诉讼的方式解决。根据《民法典》的相关规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。如果邻居的树木影响了你的房屋安全或正常使用，你有权要求邻居承担相应的民事责任，包括停止侵害、排除妨碍、赔偿损失等。
- 行政途径：在某些情况下，如果树木的生长违反了城市规划、绿化管理等相关规定，可以向当地的城市管理部门或绿化管理部门投诉，请求他们介入处理。
关于老人被打成轻微伤的问题：
- 这与树木的处理是两个独立的问题。老人被打成轻微伤，已经涉及到了治安或刑事案件，派出所应当介入调查，并根据调查结果依法处理。但这并不意味着派出所会直接处理树木的问题。
- 如果老人的受伤与树木的处理有关（如因树木问题引发争执导致被打），可以在处理治安或刑事案件的同时，通过民事诉讼的方式要求邻居承担因树木问题导致的民事责任。
建议：
- 在处理此类问题时，建议保持冷静和理性，通过合法途径解决纠纷。
- 如果对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到妥善维护。
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