在以下六种法定情形下，用人单位开除员工无需支付经济补偿：
试用期间员工不符合录用条件
- 具体情形：用人单位在招聘时应明确具体的录用条件，并在试用期内对员工进行客观考核。若员工在试用期的表现未能满足设定的录用标准，且用人单位能提供充分证据（如试用期考核记录、工作成果不达标等材料），则可解除劳动合同且无需补偿。例如，招聘时明确要求员工需具备特定技能或证书，而试用期内发现员工并不具备，即可认定不符合录用条件。
员工严重违反用人单位规章制度
- 具体情形：用人单位的规章制度需合法、合理，并经过民主程序制定及向劳动者公示。当员工的行为严重违反这些规章制度，达到可解除劳动合同的程度时（如多次旷工、打架斗殴、泄露商业机密等严重违纪行为，且这些行为在规章制度中有明确规定为可解雇情形），用人单位有权开除且不给予补偿。
员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害
- 具体情形：“严重失职”指员工未履行或未正确履行职责导致损失，“营私舞弊”则为谋取私利损害用人单位利益。“重大损害”的标准由用人单位在规章制度中明确，或依据行业惯例及企业实际情况判断。例如，财务人员因疏忽大意导致资金被骗取数十万元，或员工利用职务之便将公司机密出售给竞争对手，公司可据此解除合同且无需补偿。
员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位任务造成严重影响或拒不改正
- 具体情形：若员工在与本单位建立劳动关系的同时，又与其他单位建立劳动关系，且影响了本单位工作任务的完成（如销售人员同时为竞争企业兼职销售，影响本企业业务拓展），或经用人单位提出后拒绝改正，则用人单位有权解除劳动合同且无需支付补偿。
员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同
- 具体情形：员工通过提供虚假学历、工作经历，或以暴力、威胁等手段强迫用人单位，或乘用人单位之危签订或变更劳动合同，导致合同无效或部分无效。例如，员工提供虚假的学历证书或工作经历骗取录用，用人单位发现后可解除劳动合同且无需补偿。
员工被依法追究刑事责任
- 具体情形：员工因犯罪被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑）或依据刑法第三十二条免予刑事处分时，用人单位可依法解除劳动合同且无需支付经济补偿。例如，员工因盗窃、贪污等犯罪行为被法院判处刑罚，用人单位可立即解除劳动合同。
注意事项：
- 在上述情形下解除劳动合同，用人单位应遵循法定程序，如提前通知、告知理由等，并确保有充分证据支持其解除决定。例如，在解除劳动合同前，用人单位应与员工进行沟通，说明解除的理由和依据，并保留相关证据材料。
- 不同地区的法律法规可能存在差异，因此在实际操作中还需结合当地具体规定来判断是否需要支付经济补偿金。例如，某些地区可能对“重大损害”的标准有更为具体的规定。
- 即使在这些无需支付补偿金的情形下，用人单位也应尽量与员工进行沟通协商，寻求和平解决方式，以减少潜在的法律风险和负面影响。例如，通过协商达成一致解除劳动合同的协议，可以避免劳动纠纷的发生。
总结与建议：
用人单位在开除员工时，必须确保行为符合相关法律法规要求，并收集和保留相关证据以支持其解除决定。同时，建议用人单位在制定规章制度时明确各项规定和标准，以便在需要时能够迅速、准确地做出决策。如果您在劳动纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。