私营企业和国有企业可以通过以下方式合法合规地开展合作共同承揽业务：

1. 签订合作协议，明确权责
   双方应签订书面合作协议，明确合作内容、权利义务、收益分配、风险承担等核心条款。协议需符合《民法典》合同编的规定，确保内容合法、条款清晰。例如，可约定由国有企业负责资质申报和政府对接，私营企业负责具体项目执行，双方按约定比例分配利润。协议中还应设置违约责任条款，约束双方行为。

2. 选择合规的合作模式

   • 联合体投标：若项目需通过招投标程序，双方可组成联合体参与投标。根据《招标投标法》第三十一条，联合体各方需签订共同投标协议，明确牵头方及各方责任，并在投标文件中附联合体协议。中标后，联合体各方需共同与招标人签订合同，就中标项目向招标人承担连带责任。
     
   • 项目合作：若无需招投标，双方可通过项目合作形式开展业务。例如，国有企业提供资质、品牌或资金，私营企业提供技术、劳务或设备，双方按约定比例分配收益。合作中需避免“挂靠”行为（即私营企业以国有企业名义承揽业务），否则可能因违反《建筑法》第六十六条等规定被认定为无效合同，甚至面临行政处罚。

3. 确保资金往来合规
   合作中涉及的资金往来需通过银行转账等合法方式完成，并保留完整凭证。避免以现金形式支付或通过个人账户收付款，否则可能被认定为“账外资金”或涉嫌偷逃税款。若涉及融资，需符合《贷款通则》等规定，避免非法集资或高利转贷。

4. 遵守行业监管要求
   不同行业对合作有特殊规定。例如，在建筑领域，根据《建筑法》第二十六条，私营企业需具备相应资质方可承揽工程，若通过国有企业“挂靠”承揽业务，可能被认定为无效合同；在金融领域，合作需符合《商业银行法》《证券法》等规定，避免未经许可开展金融业务。

5. 防范利益冲突与廉洁风险
   国有企业通常需遵守《企业国有资产法》《国有企业领导人员廉洁从业若干规定》等，合作中需避免利益输送、关联交易等问题。例如，私营企业不得向国有企业管理人员或其亲属输送利益，合作协议需经国有企业内部审批程序（如“三重一大”决策制度）后方可签订。

注意事项：

• 合作前需对双方资质、信用状况进行尽职调查，避免因对方违约导致损失。
  
• 合作中需定期沟通进展，及时解决分歧，避免因管理混乱引发纠纷。
  
• 若涉及跨境合作，还需遵守外汇管理、出口管制等国际规则。
  

如有具体合作场景或行业，可进一步向我咨询，我会结合实际情况提供更详细的建议。