公司开除员工是否需要赔偿，主要取决于开除的原因和是否符合相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细分析：
合法开除无需赔偿的情况：
- 试用期不符合录用条件：在试用期内，如果员工被证明不符合录用条件，公司可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。但需注意，公司需有明确的录用条件和考核标准，并能提供证据证明员工不符合这些条件。例如，员工在试用期内多次未能完成基本工作任务，且经过培训后仍无改进，公司可以依据此条款开除员工而无需赔偿。
- 严重违反规章制度：如果公司的规章制度经过民主程序制定并公示，且员工的行为确实违反了这些制度中的严重违纪条款（如旷工达到一定天数、在工作场所打架斗殴等），公司有权解除劳动合同，同样无需支付经济补偿金。例如，员工连续旷工超过公司规定的天数，公司可以依据此条款开除员工。
- 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职给公司造成重大损害，或营私舞弊导致公司利益受损的，公司可以解除劳动合同，并无需承担赔偿责任。但需确保公司有充分的证据支持其主张。例如，员工因故意泄露公司商业秘密给竞争对手，导致公司遭受重大经济损失，公司可以依据此条款开除员工。
- 被依法追究刑事责任：如果员工被依法追究刑事责任，公司可以立即解除劳动合同，且无需支付任何补偿。例如，员工因犯罪行为被人民法院判处刑罚，公司可以依据此条款开除员工。
需要支付经济补偿的合法开除情形：
- 员工患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作也不能从事公司另行安排的工作的，公司需支付经济补偿。例如，员工因长期患病无法继续从事原工作，且公司无法为其安排其他合适的工作岗位，公司可以解除劳动合同但需支付经济补偿。
- 员工不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任的，公司需支付经济补偿。例如，员工因技能不足无法完成工作任务，经过公司培训后仍无改进，公司可以解除劳动合同但需支付经济补偿。
- 客观情况发生重大变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且公司与员工未能就变更合同内容达成协议的，公司需支付经济补偿。例如，公司因业务调整需要裁减某个部门，且无法与该部门员工就变更劳动合同内容达成协议，公司可以解除劳动合同但需支付经济补偿。
- 经济性裁员：公司因经营困难、重整等原因需要裁减人员的，也需向被裁减的员工支付经济补偿。例如，公司因市场环境变化导致经营困难，需要裁减部分员工以降低成本，公司可以解除劳动合同但需支付经济补偿。
经济补偿的计算方法：依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，即按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 需要支付赔偿金的违法开除情形：
- 如果公司没有合法的理由或未遵循法定的程序开除员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。公司应依照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定支付赔偿金。例如，公司未提前通知员工即擅自解除劳动合同，且无法提供合法理由，员工可以要求公司支付赔偿金。
总结与建议：
公司在开除员工时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据开除的具体原因和情况，公司可能需要支付经济补偿或赔偿金，也可能无需支付任何赔偿。因此，建议公司在处理员工开除事宜时，务必谨慎行事，确保合法合规，以避免不必要的法律风险和经济损失。如果公司或员工对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。