结论：补牙引起牙髓炎且疼痛持续两个月，医院是否承担责任及如何赔偿，主要取决于医院在补牙过程中是否存在过错。以下从不同角度进行分析：

一、医院存在过错的情况

1. 过错类型：

   • 操作不当：如补牙时未彻底清除龋坏组织、未正确处理牙髓或根管，导致牙髓炎发生。
   • 消毒不严：补牙过程中未严格遵守无菌操作原则，引发感染。
   • 诊断错误：未准确诊断患者病情，如将牙髓炎误诊为普通龋齿进行补牙。

2. 责任承担：

   • 治疗责任：医院需承担后续治疗责任，包括牙髓炎的治疗费用、可能的根管治疗费用等。
   • 赔偿责任：若因医院过错导致患者额外损失（如误工费、交通费、精神损害抚慰金等），医院需根据过错程度进行赔偿。

3. 赔偿范围：

   • 医疗费：包括因牙髓炎治疗产生的所有合理医疗费用。
   • 误工费：患者因治疗牙髓炎而无法正常工作导致的收入损失。
   • 交通费：患者因治疗牙髓炎而产生的合理交通费用。
   • 精神损害抚慰金：若医院过错给患者造成严重精神损害，患者可要求精神损害抚慰金。

二、医院无过错的情况

1. 可能原因：

   • 患者自身因素：如患者牙齿本身存在隐匿性病变，补牙后牙髓炎发作。
   • 不可抗力：如补牙后患者因其他原因（如外伤、感染等）导致牙髓炎发作，且该原因与补牙操作无关。

2. 责任承担：

   • 治疗责任：医院通常无需承担后续治疗责任，但可提供常规复诊服务。
   • 赔偿责任：医院无需赔偿患者因牙髓炎产生的任何损失。

三、责任认定与赔偿流程

1. 医疗事故鉴定：

   • 患者可向当地医疗事故鉴定委员会申请医疗事故鉴定，以明确医院是否存在过错及过错程度。
   • 鉴定结果将作为后续责任认定和赔偿的依据。

2. 协商与调解：

   • 在鉴定结果明确后，患者可与医院进行协商，就赔偿事宜达成一致意见。
   • 若协商不成，可向当地医疗纠纷人民调解委员会申请调解。

3. 诉讼途径：

   • 若调解不成，患者可向人民法院提起诉讼，要求医院承担相应责任并赔偿损失。
   • 诉讼过程中，法院将根据鉴定结果、双方证据及法律规定进行判决。

四、建议与注意事项

1. 及时就医：患者应尽快就医治疗牙髓炎，以减轻疼痛并防止病情恶化。
2. 保留证据：患者应保留好所有与补牙及牙髓炎治疗相关的医疗记录、费用单据等证据。
3. 理性维权：在维权过程中，患者应保持理性，避免采取过激行为影响自身权益。

最后，补牙引起牙髓炎且疼痛持续两个月，医院是否承担责任及如何赔偿需根据具体情况判断。若您认为医院存在过错，建议尽快进行医疗事故鉴定并咨询专业律师（即我本人，李悦律师，专注于医疗损害、医疗事故赔偿等领域），以便更好地维护自身权益。