结论：信用卡逾期后，即使每个月还1000元，也仍然可能会产生罚息。
分析说明：
罚息的产生条件：
- 信用卡逾期后，银行通常会根据逾期金额和逾期时间来计算罚息。罚息的计算方式一般会在信用卡合同中明确约定，通常是按照逾期金额的一定比例（如日利率万分之五）来计算。
- 罚息的产生并不取决于持卡人是否还款，而是取决于逾期的事实。即使持卡人每个月都还款，但只要还款金额不足以覆盖全部逾期金额，或者还款时间晚于银行规定的还款日，就会产生逾期，进而产生罚息。
每月还款1000元的影响：
- 每月还款1000元可能不足以覆盖信用卡的全部逾期金额，特别是当逾期金额较大时。因此，即使每月还款，仍然可能存在逾期部分，从而产生罚息。
- 另外，如果每月还款时间晚于银行规定的还款日，即使还款金额足够，也会因为逾期而产生罚息。不过，在这种情况下，如果后续能够按时足额还款，罚息的产生可能会相对有限。
罚息的计算方式（以常见日利率万分之五为例）：
- 假设逾期金额为X元，逾期天数为Y天，则罚息为：\(X \times 0.0005 \times Y\)。
- 如果每月还款1000元，但逾期金额远大于1000元，且逾期天数持续累积，那么罚息也会相应增加。
法律建议：
- 及时沟通：如果确实存在还款困难，建议及时与银行沟通，说明情况并寻求解决方案。银行可能会提供分期还款、延期还款等灵活还款方式，以减轻持卡人的还款压力。
- 了解合同：仔细阅读信用卡合同，了解罚息的计算方式、还款期限等关键条款。这有助于持卡人更好地规划还款计划，避免不必要的罚息产生。
- 合理规划：根据自身经济状况合理规划还款计划，确保每月还款金额足够覆盖逾期部分，并尽量提前还款以减少罚息的产生。
后续行动建议：
- 如果已经产生罚息，建议尽快还清逾期金额和罚息，以避免罚息继续累积。
- 如果对罚息的计算方式或金额有疑问，可以向银行咨询并要求提供详细的罚息计算清单。
- 如果认为银行的罚息计算存在不合理之处，可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。不过，在采取法律行动前，建议先咨询专业律师的意见。