结论前置：信用卡按期还不上时，银行计息的方式通常遵循日利率万分之五的基本原则，并从消费入账日起计算，同时可能涉及滞纳金或违约金的收取。具体计息方式可能因银行政策不同而有所差异，但大体上可以分为全额计息和未清偿部分计息两种。

一、计息基本原理与方式

1. 日利率与计息起始日

   • 日利率：大多数银行信用卡的日利率为万分之五（即0.05%），年化利率约为18.25%。
   • 计息起始日：通常从每笔消费入账日开始计算，而非账单日或到期还款日。消费入账日一般比实际消费日期晚1-2天。

2. 全额计息与未清偿部分计息

   • 全额计息：在还款日前未能全额偿还当期账单欠款，银行将对每笔消费从入账日起至账款还清日止，按日利率万分之五计收利息，且通常对消费金额全额计息。这是目前大部分银行采用的方式。
   • 未清偿部分计息：只对当期未还清的欠款部分计算利息，已还款部分不再计息。这种方式相对较少，但越来越多的银行开始采用。

3. 复利计算

   • 部分银行会对逾期利息按月计收复利，即之前产生的利息在下个月也会产生新的利息，形成“利滚利”。

二、具体计算方式与示例

1. 计算公式

   • 利息 = 消费金额 × 日利率 × 计息天数
   • 若涉及复利，则每月利息会计入下月本金继续计息。

2. 示例说明

   • 示例一：假设信用卡账单日为每月5日，还款日为每月25日。6月1日消费2000元，6月10日消费3000元。7月5日账单显示应还款5000元，最低还款额500元。若7月25日还款4000元，剩余1000元未还。

     • 若银行采用全额计息，需支付的利息包括：6月1日消费的2000元产生的利息（假设为55元，具体天数需根据实际入账日和还款日计算），6月10日消费的3000元产生的利息（假设为69元），以及剩余1000元从7月26日至实际还款日产生的利息（假设为5.5元，按10天计算），总计约129.5元。
     • 若银行采用未清偿部分计息，则只需支付剩余1000元从7月26日至实际还款日产生的利息（假设为5.5元）。

   • 示例二：假设信用卡账单日为每月10日，还款日为每月28日。3月5日消费10,000元，4月10日出账时未能全额还款。若5月15日还清欠款，逾期天数为40天。

     • 逾期利息 = 10,000元 × 0.05% × 40天 = 200元。

三、其他费用与宽限期政策

1. 滞纳金与违约金

   • 自2017年1月1日起，中国人民银行取消信用卡滞纳金，改为由发卡机构与持卡人通过协议约定是否收取违约金及标准。不同银行的违约金收取标准不同，一般按最低还款额未还部分的一定比例（如5%）一次性收取。

2. 宽限期

   • 多数信用卡有三天左右的还款宽限期，在宽限期内还款视为按时还款，不产生额外费用。但具体天数需咨询发卡银行，因为不同银行的规定可能有所不同。

四、法律背景与建议

1. 法律背景

   • 根据《中华人民共和国民法典》第六百七十六条的规定，借款人未按照约定的期限返还借款的，应当按照约定或者国家有关规定支付逾期利息。因此，银行在信用卡持卡人逾期未还款时收取逾期利息是符合法律规定的。

2. 建议措施

   • 合理规划消费：根据自身经济状况合理安排支出，避免过度消费导致无法按时还款。
   • 及时与银行沟通：如遇还款困难，应及时与银行联系，说明情况并协商解决方案，如申请延期还款、分期还款等。
   • 关注账单信息：定期查看信用卡账单，了解应还款项和还款日期，确保按时足额还款。

综上所述，信用卡按期还不上时，银行的计息方式复杂且可能因银行政策不同而有所差异。为避免不必要的损失和信用风险，建议持卡人充分了解自身信用卡的计息规则和费用情况，并合理规划消费和还款计划。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。