结论：在您其他信用卡逾期，但特定银行信用卡未逾期的情况下，您可以尝试与该银行提前沟通，请求不关闭您已有的分期业务，但最终结果取决于银行的政策与判断。以下从多个角度为您详细分析：
一、银行政策与判断
银行自主权：银行在信用卡分期业务的管理上拥有一定的自主权。这包括是否批准分期申请、调整分期额度、提前终止分期业务等。因此，当您希望保留已有分期业务时，银行会根据其内部政策、风险评估以及您的信用状况来做出决定。
风险评估：银行在决定是否继续为您提供分期服务时，会重点考虑您的信用风险。如果您其他信用卡存在逾期情况，这可能会被视为信用风险上升的信号。然而，如果特定银行的信用卡未逾期，且您在该银行的信用记录良好，那么银行可能会更倾向于保留您的分期业务。
二、沟通策略与建议
提前沟通：在逾期情况发生或可能发生之前，建议您主动与银行联系，说明您的财务状况和还款计划。通过提前沟通，您可以展示您的诚意和还款意愿，增加银行对您的信任度。
提供证明材料：为了支持您的请求，您可以向银行提供相关的证明材料，如收入证明、资产证明等。这些材料可以帮助银行更全面地了解您的财务状况，从而做出更合理的决策。
强调分期业务的重要性：在沟通时，您可以强调分期业务对您的重要性，如帮助您分散还款压力、维持良好的信用记录等。这有助于银行理解您的需求，并考虑继续为您提供分期服务。
三、可能的法律后果与应对
分期业务被终止：如果银行决定终止您的分期业务，您需要按照银行的要求及时还清剩余款项。否则，您可能会面临逾期罚息、信用记录受损等后果。
协商还款计划：如果银行同意继续为您提供分期服务，但调整了分期额度或期限，您需要与银行协商新的还款计划，并确保按时还款。这有助于维护您的信用记录，并避免进一步的法律纠纷。
寻求法律援助：如果您与银行在分期业务的保留或调整上存在争议，且无法通过沟通解决，您可以考虑寻求法律援助。作为专业律师，我可以为您提供法律咨询和代理服务，帮助您维护合法权益。
最后建议：在处理信用卡逾期和分期业务问题时，建议您保持与银行的良好沟通，并积极采取措施改善财务状况。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。